t分布の平均と分散
📂確率分布論t分布の平均と分散
公式
X∼t(ν) ならば
E(X)=0,ν>1Var(X)=ν−2ν,ν>2
導出
戦略:カイ二乗分布と同様に、t分布にも既知の積率生成関数があるので、これを利用する。
t分布の積率:二つの確率変数 W,V が独立で、かつ W∼N(0,1), V∼χ2(r) とする。k<r ならば T:=V/rW には k次の積率が存在し
ETk=EWkΓ(2r)r−k/22−k/2Γ(2r−2k)
- N(μ,σ2) は平均が μ で分散が σ2 の正規分布だ。
- χ2(r) は自由度 r のカイ二乗分布だ。
- Γ はガンマ関数だ。
平均
r=ν とすると 1=k<r=ν から ET1 が存在し、W が 標準正規分布 N(0,1) に従うので EW1=0 である。したがって、ET1=0 である。
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分散
k=2 で、W が標準正規分布に従うならば EW2=1+02 であるから
ET2====EW2Γ(2ν)ν−2/22−2/2Γ(2ν−22)12νΓ(2ν)Γ(2ν−1)2ν2ν−11ν−2ν
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