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t分布の平均と分散 📂確率分布論

t分布の平均と分散

公式

Xt(ν)X \sim t (\nu) ならば E(X)=0,ν>1Var(X)=νν2,ν>2 E(X) = 0 \qquad , \nu >1 \\ \Var(X) = {{ \nu } \over { \nu - 2 }} \qquad , \nu > 2

導出

戦略:カイ二乗分布と同様に、t分布にも既知の積率生成関数があるので、これを利用する。

t分布の積率:二つの確率変数 W,VW,V が独立で、かつ WN(0,1)W \sim N(0,1), Vχ2(r)V \sim \chi^{2} (r) とする。k<rk < r ならば T:=WV/r\displaystyle T := { {W} \over {\sqrt{V/r} } } には kk次の積率が存在し ETk=EWk2k/2Γ(r2k2)Γ(r2)rk/2 E T^{k} = E W^{k} {{ 2^{-k/2} \Gamma \left( {{ r } \over { 2 }} - {{ k } \over { 2 }} \right) } \over { \Gamma \left( {{ r } \over { 2 }} \right) r^{-k/2} }}


  • N(μ,σ2)N \left( \mu , \sigma^{2} \right) は平均が μ\mu で分散が σ2\sigma^{2}正規分布だ。
  • χ2(r)\chi^{2} \left( r \right) は自由度 rrカイ二乗分布だ。
  • Γ\Gammaガンマ関数だ。

平均

r=νr = \nu とすると 1=k<r=ν1 = k < r = \nu から ET1ET^{1} が存在し、WW標準正規分布 N(0,1)N(0,1) に従うので EW1=0EW^{1} = 0 である。したがって、ET1=0ET^{1} = 0 である。

分散

k=2k=2 で、WW が標準正規分布に従うならば EW2=1+02EW^{2} = 1 + 0^{2} であるから ET2=EW222/2Γ(ν222)Γ(ν2)ν2/2=1ν2Γ(ν12)Γ(ν2)=ν21ν21=νν2 \begin{align*} ET^{2} =& EW^{2} {{ 2^{-2/2} \Gamma \left( {{ \nu } \over { 2 }} - {{ 2 } \over { 2 }} \right) } \over { \Gamma \left( {{ \nu } \over { 2 }} \right) \nu^{-2/2} }} \\ =& 1 {{ \nu } \over { 2 }} {{ \Gamma \left( {{ \nu - 1 } \over { 2 }} \right) } \over { \Gamma \left( {{ \nu } \over { 2 }} \right) }} \\ =& {{ \nu } \over { 2 }} {{ 1 } \over { {{ \nu } \over { 2 }} - 1 }} \\ =& {{ \nu } \over { \nu - 2 }} \end{align*}