t分布の平均と分散

公式

$X \sim t (\nu)$ ならば $$ E(X) = 0 \qquad , \nu >1 \\ \text{Var}(X) = {{ \nu } \over { \nu - 2 }} \qquad , \nu > 2 $$

導出

戦略：カイ二乗分布と同様に、t分布にも既知の積率生成関数があるので、これを利用する。

t分布の積率：二つの確率変数 $W,V$ が独立で、かつ $W \sim N(0,1)$, $V \sim \chi^{2} (r)$ とする。$k < r$ ならば $\displaystyle T := { {W} \over {\sqrt{V/r} } }$ には $k$次の積率が存在し $$ E T^{k} = E W^{k} {{ 2^{-k/2} \Gamma \left( {{ r } \over { 2 }} - {{ k } \over { 2 }} \right) } \over { \Gamma \left( {{ r } \over { 2 }} \right) r^{-k/2} }} $$
$N \left( \mu , \sigma^{2} \right)$ は平均が $\mu$ で分散が $\sigma^{2}$ の正規分布だ。
$\chi^{2} \left( r \right)$ は自由度 $r$ のカイ二乗分布だ。
$\Gamma$ はガンマ関数だ。

平均

$r = \nu$ とすると $1 = k < r = \nu$ から $ET^{1}$ が存在し、$W$ が標準正規分布 $N(0,1)$ に従うので $EW^{1} = 0$ である。したがって、$ET^{1} = 0$ である。

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分散

$k=2$ で、$W$ が標準正規分布に従うならば $EW^{2} = 1 + 0^{2}$ であるから $$ \begin{align*} ET^{2} =& EW^{2} {{ 2^{-2/2} \Gamma \left( {{ \nu } \over { 2 }} - {{ 2 } \over { 2 }} \right) } \over { \Gamma \left( {{ \nu } \over { 2 }} \right) \nu^{-2/2} }} \\ =& 1 {{ \nu } \over { 2 }} {{ \Gamma \left( {{ \nu - 1 } \over { 2 }} \right) } \over { \Gamma \left( {{ \nu } \over { 2 }} \right) }} \\ =& {{ \nu } \over { 2 }} {{ 1 } \over { {{ \nu } \over { 2 }} - 1 }} \\ =& {{ \nu } \over { \nu - 2 }} \end{align*} $$

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