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リーマン ゼータ関数 📂関数

リーマン ゼータ関数

定義

次のように定義された関数 ξ\xi をリーマンのシー関数riemann xi functionと呼ぶ。 ξ(s):=12s(s−1)π−s/2ζ(s)Γ(s2) \xi (s) := {{ 1 } \over { 2 }} s ( s-1) \pi^{-s/2} \zeta (s) \Gamma \left( {{ s } \over { 2 }} \right)

説明

リーマンのシー関数は元々異なる形で定義されていたが、エドムント・ランダウedmund Landauによって小文字のシー ξ\xi で再定義され、元々のリーマンのシー関数は大文字 Ξ\Xi を使って Ξ(z):=ξ(12+zi)\Xi (z) := \xi \left( {{ 1 } \over { 2 }} + zi \right) のように定義された1とされている。

定理

ξ(1−s)=ξ(s) \xi ( 1 - s) = \xi (s) 一方、リーマンのシー関数は s=12\displaystyle s = {{ 1 } \over { 2 }} に対して対称で、これは元のリーマンのシー関数の定義によると、次のように対称性をよりよく表現できた。 Ξ(−z)=Ξ(z) \Xi ( -z ) = \Xi ( z )

証明2

パート 1.

Γ(x)=∫0∞tx−1e−tdt \Gamma (x) = \int_{0}^{\infty} t^{x-1} e^{-t} dt ガンマ関数の定義から t=n2πzt = n^{2} \pi z とすると Γ(x)=∫0∞(n2πz)x−1e−n2πzn2πdz=n2π(n2π)x−1∫0∞zx−1e−n2πzdz \begin{align*} \displaystyle \Gamma \left( x \right) =& \int_{0}^{\infty} \left( n^{2} \pi z \right)^{x-1} e^{-n^{2} \pi z} n^{2} \pi dz \\ =& n^{2} \pi \left( n^{2} \pi \right)^{x-1} \int_{0}^{\infty} z^{x-1} e^{-n^{2} \pi z} dz \end{align*} ここで x:=s2\displaystyle x := {{ s } \over { 2 }} と置くと n−sπ−s/2Γ(s2)=∫0∞zs2−1e−n2πzdz n^{-s} \pi^{-s/2} \Gamma \left( {{ s } \over { 2 }} \right) = \int_{0}^{\infty} z^{{{ s } \over { 2 }}-1} e^{-n^{2} \pi z} dz 両辺に ∑n∈N\sum_{n \in \mathbb{N}} を取ると、リーマンのゼータ関数の定義から Re⁡(s)>1\re(s) > 1 の場合 ζ(s)π−s/2Γ(s2)=∑n∈Nn−sπ−s/2Γ(s2)=∑n∈N∫0∞zs2−1e−n2πzdz=∫0∞zs2−1∑n∈Ne−n2πzdz \begin{align*} \zeta (s) \pi^{-s/2} \Gamma \left( {{ s } \over { 2 }} \right) =& \sum_{n \in \mathbb{N}} n^{-s} \pi^{-s/2} \Gamma \left( {{ s } \over { 2 }} \right) \\ =& \sum_{n \in \mathbb{N}} \int_{0}^{\infty} z^{{{ s } \over { 2 }}-1} e^{-n^{2} \pi z} dz \\ =& \int_{0}^{\infty} z^{{{ s } \over { 2 }}-1} \sum_{n \in \mathbb{N}} e^{-n^{2} \pi z} dz \end{align*}

パート 2.

ヤコビのセータ関数の定義と性質: ϑ(τ):=∑n∈Ze−πn2τ \vartheta (\tau) := \sum_{n \in \mathbb{Z}} e^{-\pi n^{2} \tau } このように定義された関数 ϑ\vartheta をヤコビのセータ関数と呼び、次のような性質を持つ。 ϑ(τ)=1τϑ(1τ) \vartheta ( \tau ) = \sqrt{ {{ 1 } \over { \tau }}} \vartheta \left( {{ 1 } \over { \tau }} \right)

積分区間を [0,1)[0,1) と [1,∞)[1 , \infty) で分けて、[0,1)[0,1) で τ:=1z\tau := {{ 1 } \over { z }} のように置換すると dz=∣1τ2∣dτdz = \left| {{ 1 } \over { \tau^{2} }} \right| d \tau だから π−s/2ζ(s)Γ(s2)=∫0∞zs2−1ϑ(z)dz=∫01zs2−1ϑ(z)dz+∫1∞zs2−1ϑ(z)=∫1∞τ1−s2ϑ(1τ)1τ2dτ+∫1∞zs2−1ϑ(z)dz=∫1∞τ−1−s2ϑ(1τ)dτ+∫1∞zs2−1ϑ(z)dz=∫1∞τ−1−s2τϑ(τ)dτ+∫1∞zs2−1ϑ(z)dz=∫1∞τ−s2−12ϑ(τ)dτ+∫1∞zs2−1ϑ(z)dz \begin{align*} \pi^{-s/2} \zeta (s) \Gamma \left( {{ s } \over { 2 }} \right) =& \int_{0}^{\infty} z^{{{ s } \over { 2 }}-1} \vartheta (z) dz \\ =& \int_{0}^{1} z^{{{ s } \over { 2 }}-1} \vartheta (z) dz + \int_{1}^{\infty} z^{{{ s } \over { 2 }}-1} \vartheta (z) \\ =& \int_{1}^{\infty} \tau^{ 1 - {{ s } \over { 2 }}} \vartheta \left( {{ 1 } \over { \tau }} \right) {{ 1 } \over { \tau^{2} }} d \tau + \int_{1}^{\infty} z^{{{ s } \over { 2 }}-1} \vartheta (z) dz \\ =& \int_{1}^{\infty} \tau^{ -1 - {{ s } \over { 2 }}} \vartheta \left( {{ 1 } \over { \tau }} \right) d \tau + \int_{1}^{\infty} z^{{{ s } \over { 2 }}-1} \vartheta (z) dz \\ =& \int_{1}^{\infty} \tau^{ -1 - {{ s } \over { 2 }}} \sqrt{\tau} \vartheta \left( \tau \right) d \tau + \int_{1}^{\infty} z^{{{ s } \over { 2 }}-1} \vartheta (z) dz \\ =& \int_{1}^{\infty} \tau^{ - {{ s } \over { 2 }} - {{ 1 } \over { 2 }}} \vartheta \left( \tau \right) d \tau + \int_{1}^{\infty} z^{{{ s } \over { 2 }}-1} \vartheta (z) dz \end{align*} 積分子を再び dzdz と統一して表示すると π−s/2ζ(s)Γ(s2)=∫1∞[z−s2−12+zs2−1]ϑ(z)dz \pi^{-s/2} \zeta (s) \Gamma \left( {{ s } \over { 2 }} \right) = \int_{1}^{\infty} \left[ z^{ - {{ s } \over { 2 }} - {{ 1 } \over { 2 }}} + z^{{{ s } \over { 2 }}-1} \right] \vartheta \left( z \right) dz

パート 3. 上の方程式で、変数が ss ではなく 1−s1-s であっても π−(1−s)/2ζ(1−s)Γ(1−s2)=∫1∞[z−1−s2−12+z1−s2−1]ϑ(z)dz=∫1∞[zs2−1+z−s2−12]ϑ(z)dz=π−s/2ζ(s)Γ(s2) \begin{align*} \pi^{-(1-s)/2} \zeta (1-s) \Gamma \left( {{ 1-s } \over { 2 }} \right) =& \int_{1}^{\infty} \left[ z^{ - {{ 1-s } \over { 2 }} - {{ 1 } \over { 2 }}} + z^{{{ 1-s } \over { 2 }}-1} \right] \vartheta \left( z \right) dz \\ =& \int_{1}^{\infty} \left[ z^{{{ s } \over { 2 }}-1} + z^{ - {{ s } \over { 2 }} - {{ 1 } \over { 2 }}} \right] \vartheta \left( z \right) dz \\ =& \pi^{-s/2} \zeta (s) \Gamma \left( {{ s } \over { 2 }} \right) \end{align*} 両辺に (1−s)((1−s)−1)2=s(s−1)2\displaystyle {{ (1-s) ((1-s)-1) } \over { 2 }} = {{ s (s-1) } \over { 2 }} を掛けると (1−s)((1−s)−1)2π−(1−s)/2ζ(1−s)Γ(1−s2)=s(s−1)2π−s/2ζ(s)Γ(s2) {{ (1-s) ((1-s)-1) } \over { 2 }} \pi^{-(1-s)/2} \zeta (1-s) \Gamma \left( {{ 1-s } \over { 2 }} \right) = {{ s (s-1) } \over { 2 }} \pi^{-s/2} \zeta (s) \Gamma \left( {{ s } \over { 2 }} \right) これをリーマンのシー関数で表すと ξ(1−s)=ξ(s) \xi ( 1 - s) = \xi (s)

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  1. https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_Xi_function ↩︎

  2. https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_zeta_function ↩︎