📂微分方程式

지수성장방정식/상수 계수를 갖는 1계 선형 동차 미분 방정식

定義

以下のような 一次常微分方程式で独立変数 $t$ が $f$ に明示的に含まれていない場合、それを 自律システム^{autonomous system} または 自律微分方程式^{autonomous differential equation} と呼ぶ。

$$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = f(y)$$

逆に、以下のような形は 非自律システム と呼ぶ。

$$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = f(y, t)$$

説明

自律システムという言葉は、より 動力学 的なセンスを含んでおり、自律微分方程式という言葉は、より 常微分方程式 のそのものに集中しているという感じがある。

$y = y(t)$であるため、$f$に$t$の情報が含まれるのは正しいが、これが $y = y(t)$の値によってのみ影響を及ぼすとき、自律システムと呼ぶ。$t$に依存せず、$y$ 自らが（自律的に）系を導いて行くと理解すれば良いだろう。

自律システムの中で基本でありながらも重要な方程式は、以下の人口モデルである。指数増加方程式^{exponential growth equation}とも呼ばれ、解が指数関数であり 人口が増加する現象をモデル化するために使用されるためである。 一度微分したとき、自身と同じ関数が何であるかを考えれば、なぜ指数関数が答えなのかがわかるだろう。

方程式

$$\dfrac{dy}{dx} = \alpha y \tag{1}$$

上記のように定数係数を持つ 一次線形同次 微分方程式の一般解は以下のようである。

$$y=Ae^{\alpha x}$$

この時、$A$は定数である。

解法

$(1)$を 変数分離 すると次のようになる。

$$\dfrac{dy}{dx} = \alpha y \implies \dfrac{1}{y} dy = \alpha dx$$

両辺を積分すると、対数関数の微分法により、次のようになる。

$$\ln y = a x + C$$

この時、$C$は積分定数である。最後に両辺に指数関数を施すと、

$$y=e^{\alpha x + C}=e^{\alpha x} e^{C}=Ae^{\alpha x}$$

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