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ラゲール多項式のロドリゲスの公式

数式

ラゲール多項式の明示的な式は以下のようである。

$$L_{n}(x) = \frac{1}{n!}e^{x}\frac{ d ^{n}}{ dx^{n} }(x^{n}e^{-x}) \tag{1}$$

説明

上の式はラゲール多項式に対するロドリゲスの公式と言われる。ロドリゲスの公式という用語はもともとルジャンドル多項式の明示的な形を示したが、後に多項式で表される特別な関数の明示的な形を示す公式の一般的な名称になった。最初の数個の多項式を書き出すと以下のようになる。

$$\begin{align*} L_{0}(x) &= 1 \\ L_{1}(x) &= -x+1 \\ L_{2}(x) &= \frac{1}{2}\left( x^{2}-4x+2 \right) \\ L_{3}(x) &=\frac{1}{6}\left( -x^{3}+9x^{2}-18x+6 \right) \\ & \vdots \end{align*}$$

証明¹

戦略： $(1)$がラゲール微分方程式を満たすことを示せばよい。

便宜上微分演算子 $D=\frac{d}{dx}$を導入する。$Df=\frac{ d f}{ d x }=f^{\prime}$で、証明で適切に両方の表現を使用する。

ロドリゲスの公式を$f(x)=\frac{e^{x}}{n!}\frac{ d ^{n}}{ d x^{n} }(x^{n}e^{-x})$とし、$v=x^{n}e^{-x}$とする。まず、$xv^{\prime}=(n-x)v$になることを示す。 $$\begin{align*} && v^{\prime}&=nx^{n-1}e^{-x}-x^{n}e^{-x} \\ \implies && xv^{\prime}&=nx^{n}e^{-x}-xx^{n}e^{-x} \\ && &=(n-x)v \end{align*}$$

今、両側を$n+1$回微分しよう。まず左側を微分すると、ライプニッツの法則により以下のようになる。

$$\begin{align*} D^{n+1}(xv^{\prime}) &= \sum \limits _{k=0}^{n} \frac{(n+1)!}{(n+1-k)!k!}(D^{k}x)(D^{n+1-k}v^{\prime}) \\ &= \sum \limits _{k=0}^{1} \frac{(n+1)!}{(n+1-k)!k!}(D^{k}x)(D^{n+1-k}v^{\prime}) \end{align*}$$

2番目の等号は$k \ge 2$の時$D^{k}x=0$であるため成立する。シグマ記号を解くと、以下の結果を得る。

$$\begin{align*} D^{n+1}(xv^{\prime}) &= xD^{n+1}v^{\prime}+(n+1)D^{n}v^{\prime} \\ &= x(D^{n}v)^{\prime \prime} +(n+1)(D^{n}v)^{\prime} \end{align*}$$

同様に右側は以下のようになる。

$$\begin{align*} D^{n+1}\left[ (n-x)v \right] &= \sum \limits _{k=0}^{n}\frac{(n+1)!}{(n+1-k)!k!}\left[D^{k}(n-x)\right] (D^{n+1-k}v) \\ &=\sum \limits _{k=0}^{1}\frac{(n+1)!}{(n+1-k)!k!}\left[D^{k}(n-x)\right] (D^{n+1-k}v) \\ &=(n-x)D^{n+1}v+(n+1)(-1)D^{n}v \\ &= (n-x)(D^{n}v)^{\prime}-(n+1)D^{n}v \end{align*}$$

したがって、以下を得る。

$$\begin{align*} && D^{n+1}(xv^{\prime}) &= D^{n+1}[(n-x)v] \\ \implies && x(D^{n}v)^{\prime \prime} +(n+1)(D^{n}v)^{\prime} &= (n-x)(D^{n}v)^{\prime}-(n+1)D^{n}v \end{align*}$$

これを整理すると、以下のようになる。

$$x(D^{n}v)^{\prime \prime} +(1+x)(D^{n}v)^{\prime}+(n+1)D^{n}v=0$$

しかし、仮定により以下が成り立つ。

$$D^{n}v=\frac{ d ^{n}}{ dx^{n} }(x^{n}e^{-x})=n!e^{-x}f(x)$$

これを上の式に代入すると、以下の結果を得る。

$$x[n!e^{-x}f(x)]^{\prime \prime}+(1+x)[n!e^{-x}f(x)]^{\prime}+(n+1)[n!e^{-x}f(x)]=0$$

微分を全て展開すると、以下のようになる。計算は簡単なので、過程は省略する。

$$n!e^{-x} \left[ xf^{\prime \prime}(x)+(1-x)f^{\prime}(x)+nf(x) \right]=0$$

$n!e^{-x} \ne 0$であるため、括弧内の式は$0$でなければならない。

$$xf^{\prime \prime}(x)+(1-x)f^{\prime}(x)+nf(x)=0$$

これはラゲール微分方程式であるため、$f(x)$はラゲール微分方程式の解、ラゲール多項式である。

$$f(x)=\frac{e^{x}}{n!}\frac{ d ^{n}}{ d x^{n} }(x^{n}e^{-x})=L_{n}(x)$$

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