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フォーハマー記号 📂関数

フォーハマー記号

定義

ポッホハマー記号には、以下のように二種類の表現がある。

以下の式を下降階乗(falling factorial)と定義する。

xn‾:=(x)n=x(x−1)(x−2)⋯(x−n+1)=x!(x−n)!=Γ(x+1)Γ(x−n+1)=∏k=0n−1(x−k) \begin{align*} x^{\underline{n}} := (x)_{n}&=x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1) \\ &=\frac{x!}{(x-n)!}=\frac{\Gamma (x+1) }{ \Gamma (x-n+1)} \\ &=\prod \limits_{k=0}^{n-1}(x-k) \end{align*}

以下の式を上昇階乗(rasing factorial)と定義する。

xn‾:=x(n)=x(x+1)(x+2)⋯(x+n−1)=(x+n−1)!(x−1)!=Γ(x+n)Γ(x)=∏k=0n−1(x+k) \begin{align*} x^{\overline{n}} := x^{(n)}&=x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1) \\ &=\frac{(x+n-1)!}{(x-1)!}=\frac{\Gamma (x+n) }{ \Gamma (x)} \\ &=\prod \limits_{k=0}^{n-1}(x+k) \end{align*}

x0‾x^{\overline{0}}とx0‾x^{\underline{0}}は11として定義される。

x0‾=xn‾=1 x^{\overline{0}}=x^{\underline{n}}=1

説明

組合せ論では、連続する整数の積を表す記号だ。階乗は掛ける数が1に固定されている。そのため、階乗だけで表現するのが難しい場合や、階乗だけで表現した場合に式がごちゃごちゃになるときに、ポッホハマー記号が便利に使われる。また、xxが整数でない場合にも使われる。様々な表記法が存在するので、読んでいる教科書で著者がどのように定義しているかよく確認する必要がある。