n^(1/n) の極限
公式
$$ \lim \limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1 $$
$$ \lim \limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\dfrac{1}{n}} = 1 $$
証明
$\sqrt[n]{n}$ 代わりに $\ln \sqrt[n]{n}$ の極限を求めるのが簡単だ。
$$ \lim\limits_{n \to \infty} \ln \sqrt[n]{n} = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{\ln n}{n} $$
$\dfrac{\infty}{\infty}$ 形だから、ロピタルの定理 によって、
$$ \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{\ln n}{n} = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{1}{n}}{1} = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} = 0 $$
だから、
$$ \lim\limits_{n \to \infty} \ln \sqrt[n]{n} = 0 \implies \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1 $$
2番目の式も同じ方法で証明できる。
■