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n^(1/n) の極限 📂レンマ

n^(1/n) の極限

公式

$$ \lim \limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1 $$

$$ \lim \limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\dfrac{1}{n}} = 1 $$

証明

$\sqrt[n]{n}$ 代わりに $\ln \sqrt[n]{n}$ の極限を求めるのが簡単だ。

$$ \lim\limits_{n \to \infty} \ln \sqrt[n]{n} = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{\ln n}{n} $$

$\dfrac{\infty}{\infty}$ 形だから、ロピタルの定理 によって、

$$ \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{\ln n}{n} = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{1}{n}}{1} = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} = 0 $$

だから、

$$ \lim\limits_{n \to \infty} \ln \sqrt[n]{n} = 0 \implies \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1 $$

2番目の式も同じ方法で証明できる。