멱급수의 적분
定理
冪級数 $\sum\limits_{n = 0}^{\infty} c_{n}x^{n}$が$\left| x \right| \lt R$で収束するとする。そして関数$f$を次のように定義する。
$$ f(x) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} c_{n}x^{n} \qquad \left| x \right| \lt R \tag{1} $$
そうすると、関数$f$は$(-R, R)$で積分可能であり、その不定積分は次のようになる。
$$ \int f(x) dx = C + \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \dfrac{c_{n}}{n + 1} x^{n+1} \qquad \left| x \right| \lt R \tag{2} $$
また、$f$と$\displaystyle \int f$の収束半径は同じである。
説明
$(2)$はまるで$(1)$の無限の項を項ごとに積分したかのような結果を与える。つまり、冪級数を微分するとき多項式を積分するようにしても良いということだ。
$$ \int \left[ \sum\limits_{n = 0}^{\infty} c_{n}x^{n} \right] dx = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \int c_{n}x^{n} dx $$
注意しなければならないのは$\displaystyle \int f$の収束半径が$f$と同じだということだ。これは$f$と$\displaystyle \int f$の収束区間が同じであることを意味するものではなく、区間の終点では収束性が異なる可能性がある。
証明
区間$[a, b]$で積分可能な関数列$\left\{ f_{n} : f_{n} \text{ is integrable on } [a, b] \right\}$が$[a, b]$で$f$に一様収束するとする。すると$f$も$[a, b]$で積分可能であり、次が成り立つ。
$$ \int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} \lim\limits_{n \to \infty} f_{n} (x) dx = \lim\limits_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f_{n} (x) dx $$
$f_{N}(x) = \sum\limits_{n = 0}^{N} c_{n}x^{n}$とする。すると$f_{N}$は$[a, b] \subset (-R, R)$で$f$に一様収束する。したがって、上記の補題により次が成り立つ。$ \left| x \right| \lt R$で、
$$ \begin{align*} \int f(x) dx = \int \lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{n = 0}^{N} c_{n}x^{n} dx &= \lim\limits_{N \to \infty} \int \sum\limits_{n = 0}^{N} c_{n}x^{n} dx \\ &= C + \lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{n = 0}^{N} \dfrac{c_{n}}{n + 1} x^{n+1} \\ &= C + \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \dfrac{c_{n}}{n + 1} x^{n+1} \end{align*} $$
また、$\lim\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{\dfrac{1}{n}} = 1$であるため、
$$ \limsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\dfrac{|c_{n}|}{n}} = \limsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_{n}|} $$
したがって、級数$\sum\limits_{n = 0}^{\infty} \dfrac{c_{n}}{n + 1} (x-a)^{n+1}$の収束半径は$f$と同じである。
■