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ポアソン和公式の導出 📂シュワルツ超函数

ポアソン和公式の導出

式

f:R→Cf : \mathbb{R} \to \mathbb{C} をシュワルツ関数とする。すると、 ∑n∈Zf(n)=∑k∈Zf^(k) \sum_{n \in \mathbb{Z}} f(n) = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \widehat{f}(k)

  • シュワルツ関数 f∈C∞(R)f \in C^{\infty}(\mathbb{R}) は、x→±∞x \to \pm \infty の時、関数値の大きさ ∣f(x)∣\left| f (x) \right| が速く 00 に収束する関数のことを言う。
  • ff と γ∈R\gamma \in \mathbb{R} において、f^(γ)\widehat{f}(\gamma) は次の フーリエ変換を表す： f^(γ)=∫Rf(x)e−2πiγxdx \widehat{f} ( \gamma ) = \int_{\mathbb{R}} f(x) e^{-2 \pi i \gamma x} dx

証明1

F(x):=∑n∈Zf(x+n) F(x) := \sum_{n \in \mathbb{Z}} f ( x + n ) とすると、FF は 11-周期的であり、次のようにフーリエ係数 F^k\widehat{F}_{k} を計算できる： F^k=∫01∑n∈Zf(x+n)e−2πikzdx=∑n∈Z∫01f(x+n)e−2πikzdx=∑n∈Z∫nn+1f(x)e−2πikzdx=∫Rf(x)e−2πikzdx=f^(k) \begin{align*} \widehat{F}_{k} &= \int_{0}^{1} \sum_{n \in \mathbb{Z}} f(x+n) e^{-2\pi i k z } dx \\ =& \sum_{n \in \mathbb{Z}} \int_{0}^{1} f(x+n) e^{-2\pi i k z } dx \\ =& \sum_{n \in \mathbb{Z}} \int_{n}^{n+1} f(x) e^{-2\pi i k z } dx \\ =& \int_{\mathbb{R}} f(x) e^{-2\pi i k z } dx \\ =& \widehat{f} (k) \end{align*} それにより、FF のフーリエ展開に従って、 ∑n∈Zf(x+n)=F(x)=∑k∈ZF^keikx=∑k∈Zf^(k)eikx \sum_{n \in \mathbb{Z}} f(x+n) = F(x) = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \widehat{F}_{k} e^{i k x } = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \widehat{f} (k) e^{i k x} x=0x = 0 を代入すると、次を得る: ∑n∈Zf(n)=∑k∈Zf^(k) \sum_{n \in \mathbb{Z}} f(n) = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \widehat{f}(k)

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  1. https://proofwiki.org/wiki/Poisson_Summation_Formula ↩︎