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ディリクレのエータ関数 📂関数

ディリクレのエータ関数

定義

次のように定義された関数 η:C→C\eta : \mathbb{C} \to \mathbb{C} をディリクレのエタ関数dirichlet eta functionと呼ぶ。 η(s):=∑n∈N(−1)n−1n−s \eta (s) := \sum_{n \in \mathbb{N}} (-1)^{n-1} n^{-s}

ディリクレのエタ関数は、交代するリーマンのゼータ関数として定義される。

定理

  • [1] リーマンのゼータ関数との関係: η(s)=(1−21−s)ζ(s) \eta (s) = \left( 1 - 2^{1-s} \right) \zeta (s)
  • [2] ガンマ関数との関係：Re⁡(s)>1\operatorname{Re} (s) > 1 ならば η(s)Γ(s)=M[1ex+1](s)=∫0∞xs−1ex+1dx \eta (s) \Gamma (s) = \mathcal{M} \left[ {{ 1 } \over { e^{x} + 1 }} \right] (s) = \int_{0}^{\infty} {{ x^{s-1} } \over { e^{x} + 1 }} dx
  • Re⁡(z)\re(z) は複素数 z∈Cz \in \mathbb{C} の実部を意味する。

証明

[1]

ζ(s)−η(s)=∑n∈N1ns−∑n∈N(−1)n−1ns=∑n∈N(1ns+(−1)nns)=2∑n∈N1(2n)s=21−s∑n∈N1ns=21−sζ(s) \begin{align*} \zeta (s) - \eta (s) =& \sum_{n \in \mathbb{N}} {{ 1 } \over { n^{s} }} - \sum_{n \in \mathbb{N}} {{ (-1)^{n-1} } \over { n^{s} }} \\ =& \sum_{n \in \mathbb{N}} \left( {{ 1 } \over { n^{s} }} + {{ (-1)^{n} } \over { n^{s} }} \right) \\ =& 2 \sum_{n \in \mathbb{N}} {{ 1 } \over { (2n)^{s} }} \\ =& 2^{1-s} \sum_{n \in \mathbb{N}} {{ 1 } \over { n^{s} }} \\ =& 2^{1-s} \zeta (s) \end{align*} ディリクレのエタ関数に対して変形すると η(s)=(1−21−s)ζ(s) \eta (s) = \left( 1 - 2^{1-s} \right) \zeta (s)

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[2]

それほど単純ではない。支配収束定理を通して導かれる。

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