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円筒座標系における速度と加速度 📂古典力学

円筒座標系における速度と加速度

円柱座標系での速度と加速度

v=r˙r^+rϕ˙ϕ^+z˙z^a=(r¨−rϕ˙2)r^+(2r˙ϕ˙+rϕ¨)ϕ^+z¨z^ \begin{align*} \mathbf{v}&=\dot{r} \hat{\mathbf{r}} + r \dot{\phi} \hat{\boldsymbol{\phi}}+\dot{z} \hat{\mathbf{z}} \\ \mathbf{a} &= (\ddot r -r\dot{\phi} ^2)\hat{\mathbf{r}} + (2\dot{r} \dot{\phi} + r\ddot{\phi})\hat{\boldsymbol{\phi}} + \ddot{z}\hat{\mathbf{z}} \end{align*}

導出

596DB6CE0.jpg

円柱座標系では単位ベクトルは以下の通りです。

ρ=xx^+yy^+zz^=rr^+zz^r^=r^(ϕ)=cos⁡ϕx^+sin⁡ϕy^ϕ^=r^(ϕ+π/2)=−sin⁡ϕx^+cos⁡ϕy^z^=z^ \begin{align*} \boldsymbol{\rho}&=x\hat{\mathbf{x}}+y \hat{\mathbf{y}} +z\hat{\mathbf{z}}=r\hat{\mathbf{r}} +z\hat{\mathbf{z}} \\ \hat{\mathbf{r}} &= \hat{\mathbf{r}}(\phi) = \cos\phi \hat{\mathbf{x}} + \sin\phi \hat{\mathbf{y}} \\ \hat{\boldsymbol{\phi}} &= \hat{\mathbf{r}}(\phi+\pi/2) = -\sin\phi \hat{\mathbf{x}} + \cos\phi \hat{\mathbf{y}} \\ \hat{\mathbf{z}} &= \hat{\mathbf{z}} \end{align*} 速度は位置を時間に対して微分し、加速度は速度を時間に対して微分して求められます。参考までに、r˙\dot{r}は「ドット」と読みます。物理学で文字の上に点は時間に対する微分を意味します。

r˙=drdt \dot{r} = \frac{dr}{dt}

速度

ρ\boldsymbol{\rho}をttに対して微分すると、以下のようになります。

v=dρdt=ddt(rr^+zz^)=drdtr^+rdr^dt+dzdtz^+zdz^dt=r˙r^+rr^˙+z˙z^ \begin{align*} \mathbf{v}&=\frac{d \boldsymbol{\rho}}{dt} \\ &=\frac{d}{dt}(r \hat{\mathbf{r}}+z\hat{\mathbf{z}}) \\ &=\frac{d r}{dt}\hat{\mathbf{r}} + r\frac{d \hat{\mathbf{r}}}{dt} +\frac{dz}{dt}\hat{\mathbf{z}} +z\frac{d \hat{\mathbf{z}}}{dt} \\ &=\dot{r} \hat{\mathbf{r}} +r \dot{\hat {\mathbf{r}}}+\dot{z} \hat{\mathbf{z}} \end{align*}

この時点で、直交座標系の単位ベクトルは時間によって変わりません。つまり、以下のようです。

x^˙=y^˙=z^˙=0 \dot{\hat{\mathbf{x}}}=\dot{\hat{\mathbf{y}}}=\dot{\hat{\mathbf{z}}} = \mathbf{0}

r^˙\dot{\hat{\mathbf{r}}}を計算すると、以下のようになります。

r^˙=ddt(r^)=ddt(cos⁡ϕx^)+ddt(sin⁡ϕy^)=dcos⁡ϕdtx^+dsin⁡ϕdty^=dcos⁡ϕdϕdϕdtx^+dsin⁡ϕdϕdϕdty^=−sin⁡ϕdϕdtx^+cos⁡ϕdϕdty^=dϕdt(−sin⁡ϕx^+cos⁡ϕy^)=ϕ˙ϕ^ \begin{align*} \dot{\hat {\mathbf{r}}} = \frac{d}{dt}(\hat{\mathbf{r}}) &= \frac{d}{dt}(\cos\phi \hat{\mathbf{x}}) + \frac{d}{dt}(\sin\phi \hat{\mathbf{y}}) \\ &= \frac{d\cos\phi}{dt}\hat{\mathbf{x}} + \frac{d\sin\phi}{dt}\hat{\mathbf{y}} \\ &= \frac{d\cos\phi}{d \phi}\frac{d \phi}{dt}\hat{\mathbf{x}}+\frac{d\sin\phi}{d \phi}\frac{d \phi}{dt}\hat{\mathbf{y}} \\ &= -\sin\phi \frac{d \phi}{dt}\hat{\mathbf{x}}+\cos\phi \frac{d \phi}{dt}\hat{\mathbf{y}} \\ &= \frac{d \phi }{dt}(-\sin\phi \hat{\mathbf{x}}+\cos\phi \hat{\mathbf{y}}) \\ &= \dot{\phi} \hat{\boldsymbol{\phi}} \end{align*}

従って、速度は以下のようになります。

v=r˙r^+rϕ˙ϕ^+z˙z^ \mathbf{v}=\dot{r} \hat{\mathbf{r}} + r \dot{\phi} \hat{\boldsymbol{\phi}}+\dot{z} \hat{\mathbf{z}}

■

加速度

v\mathbf{v}をttに対して微分すると、以下のようになります。

a=dvdt=ddt(r˙r^+rϕ˙ϕ^+z˙z^)=r¨r^+r˙r^˙+r˙ϕ˙ϕ^+rϕ¨ϕ^+rϕ˙ϕ^˙+z¨z^ \begin{align*} \mathbf{a}=\frac{d \mathbf{v}}{dt} &= \frac{d}{dt}(\dot{r} \hat{\mathbf{r}} + r \dot{\phi} \hat{\boldsymbol{\phi}} +\dot{z} \hat{\mathbf{z}}) \\ &= \ddot r \hat{\mathbf{r}} +\dot{r} \dot{ \hat{\mathbf{r}}} + \dot{r} \dot{\phi} \hat{\boldsymbol{\phi}} + r \ddot{\phi} \hat{\boldsymbol{\phi}} + r \dot{\phi} \dot{ \hat{\boldsymbol{\phi}}} +\ddot{z}\hat{\mathbf{z}} \end{align*}

ϕ^˙\dot{\hat{\boldsymbol{\phi}}}を計算してみると、以下のようになります。

ϕ^˙=ddt(ϕ^)=ddt(−sin⁡ϕx^)+ddt(cos⁡ϕy^)=−dsin⁡ϕdtx^+dcos⁡ϕdty^=−dsin⁡ϕdϕdϕdtx^+dcos⁡ϕdϕdϕdty^=dϕdt(−cos⁡ϕx^−sin⁡ϕy^)=−ϕ˙r^ \begin{align*} \dot{ \hat{\boldsymbol{\phi}}} = \frac{d}{dt}(\hat{\boldsymbol{\phi}}) &= \frac{d}{dt}(-\sin\phi \hat{\mathbf{x}})+\frac{d}{dt}(\cos\phi \hat{\mathbf{y}}) \\ &= -\frac{d\sin\phi}{dt}\hat{\mathbf{x}} +\frac{d\cos\phi}{dt}\hat{\mathbf{y}} \\ &= -\frac{d\sin\phi}{d \phi}\frac{d \phi}{dt}\hat{\mathbf{x}}+\frac{d\cos\phi}{d \phi}\frac{d \phi}{dt}\hat{\mathbf{y}} \\ &= \dfrac{d\phi}{dt} (-\cos\phi \hat{\mathbf{x}}-\sin\phi \hat{\mathbf{y}}) \\ &= - \dot{\phi} \hat{\mathbf{r}} \end{align*}

従って、代入して整理すると、以下のようになります。

a=r¨r^+r˙r^˙+r˙ϕ˙ϕ^+rϕ¨ϕ^+rϕ˙ϕ^˙+z¨z^=r¨r^+r˙ϕ˙ϕ^+r˙ϕ˙ϕ^+rϕ¨ϕ^−rϕ˙ϕ˙r^+z¨z^=(r¨−rϕ˙2)r^+(2r˙ϕ˙+rϕ¨)ϕ^+z¨z^ \begin{align*} \mathbf{a} &= \ddot r \hat{\mathbf{r}} +\dot{r} \dot{ \hat{\mathbf{r}}} + \dot{r} \dot{\phi} \hat{\boldsymbol{\phi}} + r \ddot{\phi} \hat{\boldsymbol{\phi}} + r \dot{\phi} \dot{ \hat{\boldsymbol{\phi}}} +\ddot{z}\hat{\mathbf{z}} \\ &= \ddot r \hat{\mathbf{r}} +\dot{r} \dot{\phi}\hat{\boldsymbol{\phi}} + \dot{r} \dot{\phi} \hat{\boldsymbol{\phi}} + r \ddot{\phi} \hat{\boldsymbol{\phi}} -r \dot{\phi} \dot{\phi} \hat{\mathbf{r}} +\ddot{z}\hat{\mathbf{z}} \\ &= (\ddot r -r\dot{\phi} ^2)\hat{\mathbf{r}} + (2\dot{r} \dot{\phi} + r\ddot{\phi})\hat{\boldsymbol{\phi}} +\ddot{z}\hat{\mathbf{z}} \end{align*}

■

円柱座標系は極座標系に高さzzだけを加えたものであるため、速度と加速度の公式もそれぞれ極座標系ではz˙z^\dot{z} \hat{\mathbf{z}}、z¨z^\ddot{z}\hat{\mathbf{z}}項を加えた形になります。

参照