エアリー微分方程式の級数解
定義
以下の微分方程式をエアリーAiry 微分方程式という。
$$ y^{\prime \prime}-xy=0,\quad -\infty<x<\infty $$
説明
この名前はイギリスの天文学者ジョージ・ビッデル・エアリーGeorge Biddell Airyに由来する。
また、ストークス方程式Stokes equationとも呼ばれる。
解法
$y^{\prime \prime}$の係数が$1$であるため、全ての点は通常点である。その中で$x=0$の近くでの級数解を求めてみよう。エアリー方程式の解は以下のようであり、収束区間$|x|<\rho$で収束すると仮定しよう。
$$ y= \sum \limits _{n=0} ^{\infty} a_{n} x^n=a_{0}+a_{1}x+a_2x^2+\cdots $$
すると$y^{\prime \prime}$は
$$ \begin{align*} y^{\prime \prime} =&\ \sum \limits_{n=2}^\infty n(n-1)a_{n}x^{n-2} \\ =&\ \sum \limits_{n=0}^\infty (n+2)(n+1)a_{n+2}x^n \\ =&\ 2\cdot 1 a_2+ 3\cdot2 a_{3}x +4\cdot 3 a_{4}x^2+\cdots \end{align*} $$
微分方程式に代入し、$x$の次数を合わせて整理すると、次のようになる。
$$ \begin{align*} y^{\prime \prime}-xy =&\ \sum \limits_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n}-\sum \limits_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n+1} \\ =&\ \sum \limits_{n=-1}^{\infty} (n+3)(n+2)a_{n+3}x^{n+1}-\sum \limits_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n+1} \\ =&\ 2a_{2}+\sum \limits_{n=0}^{\infty} (n+3)(n+2)a_{n+3}x^{n+1}-\sum \limits_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n+1} \\ =&\ 2a_{2} + \sum \limits_{n=0}^{\infty } \left[ (n+3)(n+2)a_{n+3}-a_{n} \right]x^{n+1} \\ =&\ 0 \end{align*} $$
ある$x$に対して常に成立するためには、全ての係数が$0$でなければならない。したがって、
$$ a_{2}=0 $$
級数の係数の再帰関係式を$a_{n+3}$に対して整理すると、以下のようになる。
$$ a_{n+3}=\frac{a_{n}}{(n+3)(n+2)} $$
まず、$n=0$に対して求めると、次のようになる。
$$ \begin{align*} a_{3} =&\ \frac{1}{3\cdot 2}a_{0} \\ a_{6} =&\ \frac{1}{6\cdot 5}a_{3} =\frac{1}{6\cdot 5 \cdot 3 \cdot 2}a_{0} \\ a_{9} =&\ \frac{1}{9\cdot 8}a_{6} =\frac{1}{9\cdot 8 \cdot 6\cdot 5 \cdot 3 \cdot 2}a_{0} \\ \vdots & \end{align*} $$
$n=1$に対して求めると、次のようになる。
$$ \begin{align*} a_{4} =&\ \frac{1}{4\cdot 3}a_{1} \\ a_{7} =&\ \frac{1}{7\cdot 6}a_{4} =\frac{1}{7\cdot 6 \cdot 4 \cdot 3}a_{1} \\ a_{10} =&\ \frac{1}{10\cdot 9}a_{7} =\frac{1}{10\cdot 9 \cdot 7\cdot 6 \cdot 4 \cdot 3}a_{1} \\ \vdots & \end{align*} $$
$n=2$に対して求めると、次のようになる。
$$ \begin{align*} a_{5} =&\ \frac{1}{5\cdot 4}a_{2}=0 \\ a_{8} =&\ \frac{1}{8\cdot 7}a_{5}=0 \\ a_{11} =&\ \frac{1}{11\cdot 10}a_{8} =0 \\ \vdots & \end{align*} $$
したがって、エアリー微分方程式の一般解は以下のようになる。
$$ \begin{align*} y =&\ \sum \limits_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n} \\ =&\ a_{0}+a_{1}x+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4}+a_{6}x^{6}+a_{7}x^{7}+\cdots \\ =&\ a_{0}+a_{1}x+\frac{1}{3\cdot 2}a_{0}x^{3}+\frac{1}{4\cdot 3}a_{1}x^{4}+\frac{1}{6\cdot 5 \cdot 3 \cdot 2}a_{0}x^{6}+\frac{1}{7\cdot 6 \cdot 4 \cdot 3}a_{1}x^{7} \\ =&\ a_{0}\left( 1+\frac{1}{3\cdot 2}x^{3}+\frac{1}{6\cdot 5 \cdot 3 \cdot 2}x^{6} + \cdots \right)+a_{1}\left( x+\frac{1}{4\cdot 3}x^{4}+\frac{1}{7\cdot 6\cdot 4\cdot 3}x^{7}+\cdots \right) \end{align*} $$
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