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エアリー微分方程式の級数解 📂微分方程式

エアリー微分方程式の級数解

定義

以下の微分方程式をエアリーAiry 微分方程式という。

y′′−xy=0,−∞<x<∞ y^{\prime \prime}-xy=0,\quad -\infty<x<\infty

説明

この名前はイギリスの天文学者ジョージ・ビッデル・エアリーGeorge Biddell Airyに由来する。

また、ストークス方程式Stokes equationとも呼ばれる。

解法

y′′y^{\prime \prime}の係数が11であるため、全ての点は通常点である。その中でx=0x=0の近くでの級数解を求めてみよう。エアリー方程式の解は以下のようであり、収束区間∣x∣<ρ|x|<\rhoで収束すると仮定しよう。

y=∑n=0∞anxn=a0+a1x+a2x2+⋯ y= \sum \limits _{n=0} ^{\infty} a_{n} x^n=a_{0}+a_{1}x+a_2x^2+\cdots

するとy′′y^{\prime \prime}は

y′′= ∑n=2∞n(n−1)anxn−2= ∑n=0∞(n+2)(n+1)an+2xn= 2⋅1a2+3⋅2a3x+4⋅3a4x2+⋯ \begin{align*} y^{\prime \prime} =&\ \sum \limits_{n=2}^\infty n(n-1)a_{n}x^{n-2} \\ =&\ \sum \limits_{n=0}^\infty (n+2)(n+1)a_{n+2}x^n \\ =&\ 2\cdot 1 a_2+ 3\cdot2 a_{3}x +4\cdot 3 a_{4}x^2+\cdots \end{align*}

微分方程式に代入し、xxの次数を合わせて整理すると、次のようになる。

y′′−xy= ∑n=0∞(n+2)(n+1)an+2xn−∑n=0∞anxn+1= ∑n=−1∞(n+3)(n+2)an+3xn+1−∑n=0∞anxn+1= 2a2+∑n=0∞(n+3)(n+2)an+3xn+1−∑n=0∞anxn+1= 2a2+∑n=0∞[(n+3)(n+2)an+3−an]xn+1= 0 \begin{align*} y^{\prime \prime}-xy =&\ \sum \limits_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n}-\sum \limits_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n+1} \\ =&\ \sum \limits_{n=-1}^{\infty} (n+3)(n+2)a_{n+3}x^{n+1}-\sum \limits_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n+1} \\ =&\ 2a_{2}+\sum \limits_{n=0}^{\infty} (n+3)(n+2)a_{n+3}x^{n+1}-\sum \limits_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n+1} \\ =&\ 2a_{2} + \sum \limits_{n=0}^{\infty } \left[ (n+3)(n+2)a_{n+3}-a_{n} \right]x^{n+1} \\ =&\ 0 \end{align*}

あるxxに対して常に成立するためには、全ての係数が00でなければならない。したがって、

a2=0 a_{2}=0

級数の係数の再帰関係式をan+3a_{n+3}に対して整理すると、以下のようになる。

an+3=an(n+3)(n+2) a_{n+3}=\frac{a_{n}}{(n+3)(n+2)}

まず、n=0n=0に対して求めると、次のようになる。

a3= 13⋅2a0a6= 16⋅5a3=16⋅5⋅3⋅2a0a9= 19⋅8a6=19⋅8⋅6⋅5⋅3⋅2a0⋮ \begin{align*} a_{3} =&\ \frac{1}{3\cdot 2}a_{0} \\ a_{6} =&\ \frac{1}{6\cdot 5}a_{3} =\frac{1}{6\cdot 5 \cdot 3 \cdot 2}a_{0} \\ a_{9} =&\ \frac{1}{9\cdot 8}a_{6} =\frac{1}{9\cdot 8 \cdot 6\cdot 5 \cdot 3 \cdot 2}a_{0} \\ \vdots & \end{align*}

n=1n=1に対して求めると、次のようになる。

a4= 14⋅3a1a7= 17⋅6a4=17⋅6⋅4⋅3a1a10= 110⋅9a7=110⋅9⋅7⋅6⋅4⋅3a1⋮ \begin{align*} a_{4} =&\ \frac{1}{4\cdot 3}a_{1} \\ a_{7} =&\ \frac{1}{7\cdot 6}a_{4} =\frac{1}{7\cdot 6 \cdot 4 \cdot 3}a_{1} \\ a_{10} =&\ \frac{1}{10\cdot 9}a_{7} =\frac{1}{10\cdot 9 \cdot 7\cdot 6 \cdot 4 \cdot 3}a_{1} \\ \vdots & \end{align*}

n=2n=2に対して求めると、次のようになる。

a5= 15⋅4a2=0a8= 18⋅7a5=0a11= 111⋅10a8=0⋮ \begin{align*} a_{5} =&\ \frac{1}{5\cdot 4}a_{2}=0 \\ a_{8} =&\ \frac{1}{8\cdot 7}a_{5}=0 \\ a_{11} =&\ \frac{1}{11\cdot 10}a_{8} =0 \\ \vdots & \end{align*}

したがって、エアリー微分方程式の一般解は以下のようになる。

y= ∑n=0∞anxn= a0+a1x+a3x3+a4x4+a6x6+a7x7+⋯= a0+a1x+13⋅2a0x3+14⋅3a1x4+16⋅5⋅3⋅2a0x6+17⋅6⋅4⋅3a1x7= a0(1+13⋅2x3+16⋅5⋅3⋅2x6+⋯ )+a1(x+14⋅3x4+17⋅6⋅4⋅3x7+⋯ ) \begin{align*} y =&\ \sum \limits_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n} \\ =&\ a_{0}+a_{1}x+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4}+a_{6}x^{6}+a_{7}x^{7}+\cdots \\ =&\ a_{0}+a_{1}x+\frac{1}{3\cdot 2}a_{0}x^{3}+\frac{1}{4\cdot 3}a_{1}x^{4}+\frac{1}{6\cdot 5 \cdot 3 \cdot 2}a_{0}x^{6}+\frac{1}{7\cdot 6 \cdot 4 \cdot 3}a_{1}x^{7} \\ =&\ a_{0}\left( 1+\frac{1}{3\cdot 2}x^{3}+\frac{1}{6\cdot 5 \cdot 3 \cdot 2}x^{6} + \cdots \right)+a_{1}\left( x+\frac{1}{4\cdot 3}x^{4}+\frac{1}{7\cdot 6\cdot 4\cdot 3}x^{7}+\cdots \right) \end{align*}

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