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ハンケル関数、第三種ベッセル関数

定義

第1種ベッセル関数 $J_{\nu}$と第2種ベッセル関数 $N_{\nu}$の以下のような二つの線形結合をハンケル関数もしくは第3種ベッセル関数と呼ぶ。

$$H_{\nu}^{(1)}(x) = J_{\nu}(x)+iN_{\nu}(x)$$ $$H_{\nu}^{(2)}(x) = J_{\nu}(x)-iN_{\nu}(x)$$

説明

1869年にドイツの数学者Hermann Hankelによって紹介された。具体的に、$H_{\nu}^{(1)}$を第1種ハンケル関数、$H_{\nu}^{(2)}$を第2種ハンケル関数とも呼ぶ。

定義を理解するために、微分方程式$y^{\prime \prime}+y=0$を考えてみる。この微分方程式の解は$\cos x$と$\sin x$である。一般解はこれらの線形結合で表され、その中でも特によく使われる形が$\cos x + \pm i \sin x=e^{\pm ix}$である。このように、ベッセル方程式の一般解を二つの解、$J_{\nu}(x)$と$N_{\nu}(x)$の線形結合で表したものがハンケル関数である。