📂関数

ベッセル関数の直交性

定理

$\alpha, \beta$を第一種ベッセル関数の$J_{\nu}(x)$の根とする。すると区間$[0,1]$で$\sqrt{x}J_{\nu}(x)$は直交集合を形成する。

$$\int_{0}^{1} x J_{\nu}(\alpha x) J_{\nu}(\beta x)dx = \begin{cases} 0 &\alpha\ne \beta \\ \frac{1}{2}J^{2}_{\nu+1}(\alpha)=\frac{1}{2}J_{\nu-1}^{2}(\alpha)=\frac{1}{2}J_{\nu^{\prime}}^{2}(\alpha) &\alpha=\beta \end{cases}$$

説明

上の内容は'ベッセル関数 $J_{\nu}(x)$が区間 $[0,1]$で重み関数 $x$に対して直交する'とも表現できる。

証明

$\alpha \ne \beta$

$J_{\nu}(\alpha x)$、$J_{\nu}(\beta x)$が満たす微分方程式は以下の通り。

$$\begin{align*} x(xy^{\prime})^{\prime}+(\alpha^{2}x^{2}-\nu^{2})y &= 0 \\ x(xy^{\prime})^{\prime}+(\beta ^{2}x^{2}-\nu^{2})y &= 0 \end{align*}$$

ここで、$J_{\nu}(\alpha x)=u$、$J_{\nu}(\beta x)=v$と置換すると

$$\begin{align} x(xu^{\prime})^{\prime}+(\alpha^{2}x^{2}-\nu^{2})u &= 0 \\ x(xv^{\prime})^{\prime}+(\beta ^{2}x^{2}-\nu^{2})v &= 0 \end{align}$$

今、$v \cdot (1)-u \cdot (2)$を計算すると

$$\begin{align*} && vx(xu^{\prime})^{\prime}-ux(xv^{\prime})^{\prime}+(\alpha^{2}-\beta^{2})x^{2}uv = 0 \\ \implies && v(xu^{\prime})^{\prime}-u(xv^{\prime})^{\prime}+(\alpha^{2}-\beta^{2})xuv = 0 \\ \implies && (vxu^{\prime}-uxv^{\prime})^{\prime}+(\alpha^{2}-\beta^{2})xuv = 0 \end{align*}$$

両辺を区間$[0,1]$で積分すると

$$[vxu^{\prime}-uxv^{\prime}]_{0}^{1}+ (\alpha^{2} -\beta^{2})\int_{0}^{1}xuvdx = 0 \tag{3}$$

$u(1)=J_{\nu}(\alpha)=0=J_{\nu}(\beta)=v(1)$であるので、最初の項は$0$である。従って、

$$(\alpha^{2} -\beta^{2})\int_{0}^{1}xuvdx = 0$$

しかし、$(\alpha^{2}-\beta ^{2}) \ne 0$なので、

$$\int_{0}^{1}xuvdx=\int_{0}^{1}xJ_{\nu}(\alpha x)J_{\nu}(\beta x)=0$$

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$\alpha = \beta$

今度は、$\alpha$は$J_{\nu}(x)$の根であり、$\beta$はそうではないと仮定しよう。上の証明から、$(3)$は$\alpha$、$\beta$が$J_{\nu}(x)$の根であるかどうかにかかわらず導出できるので、$(3)$から始めよう。まとめると、

$$\begin{align*} && [v(1)u^{\prime}(1)-u(1)v^{\prime}(1)]+(\alpha^{2} -\beta^{2})\int_{0}^{1}xuv dx &=0 \\ \implies && [J_{\nu}(\beta) \alpha J_{\nu}^{\prime}(\alpha)-J_{\nu}(\alpha)\beta J_{\nu}^{\prime}(\beta)]+(\alpha^{2} -\beta^{2})\int_{0}^{1}xuv dx &= 0 \\ \implies && J_{\nu}(\beta) \alpha J_{\nu}^{\prime}(\alpha)+(\alpha^{2} -\beta^{2})\int_{0}^{1}xuv dx &=0 \\ \implies && \int_{0}^{1}xJ_{\nu}(\alpha x)J_{\nu}(\beta x) dx &= \frac{J_{\nu}(\beta)\alpha J_{\nu}^{\prime}(\alpha )}{\beta^{2}- \alpha^{2}} \end{align*}$$

ここで、両辺に$\beta \rightarrow \alpha$の極限を取ると、

$$\lim \limits_{\beta \rightarrow \alpha} \int_{0}^{1}xJ_{\nu}(\alpha x)J_{\nu}(\beta x) dx =\lim \limits_{\beta \rightarrow \alpha} \frac{J_{\nu}(\beta)\alpha J_{\nu}^{\prime}(\alpha )}{\beta^{2}- \alpha^{2}}=\frac{ 0 }{ 0 }$$

従って、ロピタルの定理を使って計算しよう。右辺を$\beta$で微分すると、

$$\begin{align*} \lim \limits_{\beta \rightarrow \alpha} \int_{0}^{1}xJ_{\nu}(\alpha x)J_{\nu}(\beta x) dx &= \lim \limits_{\beta \rightarrow \alpha} \frac{J_{\nu}(\beta)\alpha J_{\nu}^{\prime}(\alpha )}{\beta^{2}- \alpha^{2}} \\ &= \lim \limits_{\beta \rightarrow \alpha} \frac{J_{\nu}^{\prime}(\beta)\alpha J_{\nu}^{\prime}(\alpha )}{2\beta} \\ &= \frac{J_{\nu}^{\prime}(\alpha)\alpha J_{\nu}^{\prime}(\alpha )}{2\alpha} \\ &= \frac{1}{2}J_{\nu}^{\prime}(\alpha) \end{align*}$$

そして、ベッセル関数の再帰関係 $(e)$により、

$$\frac{1}{2}J_{\nu}^{\prime}(\alpha) =\frac{1}{2}J_{\nu-1}(\alpha) =\frac{1}{2}J_{\nu+1}(\alpha)$$

従って、

$$\int_{0}^{1}xJ_{\nu}^{2}(\alpha x)dx=\frac{1}{2}J^{2}_{\nu+1}(\alpha)=\frac{1}{2}J_{\nu-1}^{2}(\alpha)=\frac{1}{2}J_{\nu^{\prime}}^{2}(\alpha)$$

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