📂ルベーグ空間

L2空間における変換：平行移動、変調、拡大

定義¹

• $a \in \mathbb{R}$に対して、以下のように定義される$T_{a} : L^{2} \to L^{2}$をトランスレーション^{translation, 平行移動}と言う。

$$\left( T_{a} f \right) (x) := f(x-a)$$

• $b \in \mathbb{R}$に対して、以下のように定義される$E_{b} : L^{2} \to L^{2}$をモジュレーション^{modulation, 変調}と言う。

$$\left( E_{b} f \right) (x) := e^{2 \pi i b x} f(x)$$

• $c > 0$に対して、以下のように定義される$D_{c} : L^{2} \to L^{2}$をダイレーション^{dilation, 膨張}と言う。

$$\left( D_{c} f \right) (x) := {{ 1 } \over { \sqrt{c} }} f \left( {{ x } \over { c }} \right)$$

説明

上記の線型演算子は$L^{2}$空間でよく使われるものだ。韓国語ではそれぞれ平行移動(translation)、変調(modulation)、膨張(dilation)と翻訳されるけれど、数式的に理解するには英語で直接読む方が楽だろう。

モジュレーションで掛けられる$e^{2 \pi i b x}$は文字通り抽象化された回転だ。

ダイレーションで掛けられる$\displaystyle {{ 1 } \over { \sqrt{c} }}$は、ノルム$\left\| \cdot \right\|_{2}$に合わせるためにルートが掛けられているとも見れる。特に$c = 1/2$に対して、以下のように定義される$D$は特別な役割をすることもある。

$$( D f ) (x) := \sqrt{2} f (2x)$$

便宜上、$D$は$j \in \mathbb{Z}$に関して、以下のように書かれる。

$$( D^{j} f ) (x) := \sqrt{2}^{j} f \left( 2^{j} x \right)$$

性質

全ての$a, b \in \mathbb{R}$、$c > 0$及び$f,g \in L^{1}$に対して、

1. $T_{a} , E_{b}, D_{c}$は有界線型演算子だ。

2. 逆演算子：$T_{a} , E_{b}, D_{c}$はユニタリだ。

3. 交換関係:

$$(T_{a} E_{b} f ) (x) = e^{- 2 \pi i b a} (E_{b} T_{a} f ) (x) \\ (T_{a} D_{c} f ) (x) = (D_{c} T_{a/c} f ) (x) \\ (D_{c} E_{b} f ) (x) = (E_{b/c} D_{c} f ) (x)$$

• フーリエ変換との関係:

  $$\mathcal{F} T_{a} = E_{-a} \mathcal{F} \\ \mathcal{F} E_{b} = T_{b} \mathcal{F} \\ \mathcal{F} D_{c} = D_{1/c} \mathcal{F}$$

  $D$に関しては、上の定理の系として$j, k \in \mathbb{Z}$について、以下を得ることができる。

  $$T_{k} D^{j} = D^{j} T_{2^{j} k } \\ D^{j} T_{k} = T_{2^{-j}k} D^{j} \\ \left( D^{j} \right)^{ \ast } = D^{-j}$$

証明

1.

• Part 1. 線型

  全ての$f,g \in L^{2}$及び$\alpha , \beta \in \mathbb{C}$に対して、

  $$\begin{align*} T_{a} \left( \alpha f + \beta g \right)(x) =& \left( \alpha f + \beta g \right)(x-a) \\ =& \alpha f (x-a) + \beta g (x-a) \\ =& \alpha T_{a} f (x) + \beta T_{a} g (x) \end{align*}$$

  だから$T_{a}$はリニアだ。

  $$\begin{align*} E_{b} \left( \alpha f + \beta g \right)(x) =& e^{ 2 \pi i b x } \left( \alpha f + \beta g \right)(x) \\ =& \alpha e^{ 2 \pi i b x } f (x) + \beta e^{ 2 \pi i b x } g (x) \\ =& \alpha E_{b} f (x) + \beta E_{b} g (x) \end{align*}$$

  だから$E_{b}$はリニアだ。

  $$\begin{align*} D_{c} \left( \alpha f + \beta g \right)(x) =& {{ 1 } \over { \sqrt{c} }} \left( \alpha f + \beta g \right) \left( {{ x } \over { c }} \right) \\ =& \alpha {{ 1 } \over { \sqrt{c} }} f (x) + \beta {{ 1 } \over { \sqrt{c} }} g (x) \\ =& \alpha D_{c} f (x) + \beta D_{c} g (x) \end{align*}$$

  だから$D_{c}$はリニアだ。

• Part 2. 有界

  $t := x - a$のように置換すると、

  $$\begin{align*} \left\| T_{a} f \right\|_{2} =& \int_{-\infty}^{\infty} \left| T_{a} f \left( x \right) \right|^{2} dx \\ =& \int_{-\infty}^{\infty} \left| f \left( x - a \right) \right|^{2} dx \\ =& \int_{-\infty}^{\infty} \left| f \left( t \right) \right|^{2} dt \\ =& \left\| f \right\|_{2} \end{align*}$$

  だから$T_{a}$はバウンデッドだ。$\left| e^{2 \pi i b x } \right| =1$なので、

  $$\begin{align*} \left\| E_{b} f \right\|_{2} =& \int_{-\infty}^{\infty} \left| E_{b} f \left( x \right) \right|^{2} dx \\ =& \int_{-\infty}^{\infty} \left| e^{2 \pi i b x } f \left( x \right) \right|^{2} dx \\ =& \int_{-\infty}^{\infty} 1 \cdot \left| f \left( t \right) \right|^{2} dt \\ =& \left\| f \right\|_{2} \end{align*}$$

  だから$E_{b}$はバウンデッドだ。$t := x/c$のように置換すると、

  $$\begin{align*} \left\| D_{c} f \right\|_{2} =& \int_{-\infty}^{\infty} \left| D_{c} f \left( x \right) \right|^{2} dx \\ =& \int_{-\infty}^{\infty} \left| {{ 1 } \over { \sqrt{c} }} f \left( {{ x } \over { c }} \right) \right|^{2} dx \\ =& \int_{-\infty}^{\infty} {{ 1 } \over { c }} \left| f \left( t \right) \right|^{2} c dt \\ =& \int_{-\infty}^{\infty} \left| f \left( t \right) \right|^{2} dt \\ =& \left\| f \right\|_{2} \end{align*}$$

  だから$D_{c}$はバウンデッドだ。

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