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球面調和関数の正規化 📂数理物理学

球面調和関数の正規化

定理

標準化された球面調和関数は以下の通りである。

Ylm(θ,ϕ)=2l+14π(lm)!(l+m)!Plm(cosθ)eimϕ Y_{l}^{m}(\theta,\phi)=\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}P_{l}^{m}(\cos\theta)e^{im\phi}

2f=1r2r(r2fr)+1r2sinθθ(sinθfθ)+1r2sin2θ2f2ϕ=0 \nabla ^2 f = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r} \left( r^2\frac{\partial f}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left( \sin\theta \frac{\partial f}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2 f}{\partial^2 \phi}=0

f(r,θ,ϕ)=R(r)Θ(θ)Φ(ϕ) f(r,\theta,\phi)=R(r)\Theta (\theta)\Phi (\phi)

説明

球座標系におけるラプラス方程式で、極角θ\thetaと方位角ϕ\phiに対する解を球面調和関数という。 Θ(θ)Φ(ϕ)=Ylm(θ,ϕ)=eimϕPlm(cosθ) \Theta (\theta)\Phi (\phi)=Y_{l}^{m}(\theta,\phi)=e^{im\phi}P_{l}^{m}(\cos \theta) 量子力学で球面調和関数を波動関数として扱う場合、標準化する必要がある。 R(r)Θ(θ)Φ(ϕ)2r2sinθdrdθdϕ=0R(r)2r2dr02π0πYlm(θ,ϕ)2sinθdθdϕ=1 \iiint |R(r)\Theta (\theta) \Phi (\phi)|^{2}r^{2}\sin \theta dr d \theta d\phi=\int_{0}^{\infty}|R(r)|^{2}r^{2}dr\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}|Y_{l}^{m}(\theta,\phi)|^{2}\sin\theta d\theta d\phi=1 ここで、球面調和関数の角度成分だけを取り出し、標準化定数をCCとする。すると、 C202π0πYlm(θ,ϕ)2sinθdθdϕ=1    C202πeimϕ2dϕ0πPlm(cosθ)2sinθdθ=1    2πC20πPlm(cosθ)2sinθdθ=1 \begin{align*} &&& |C|^{2}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}|Y_{l}^{m}(\theta,\phi)|^{2}\sin\theta d\theta d\phi=1 \\ \implies &&&|C|^{2}\int_{0}^{2\pi}|e^{im\phi}|^{2} d\phi\int_{0}^{\pi}|P_{l}^{m}(\cos \theta)|^{2}\sin\theta d\theta =1 \\ \implies &&&2\pi|C|^{2}\int_{0}^{\pi}|P_{l}^{m}(\cos \theta)|^{2}\sin\theta d\theta =1 \end{align*} この時、θ\thetaに対する積分は関連ルジャンドル多項式の直交性により22l+1(l+m)!(lm)!\frac{2}{2l+1} \frac{(l+m)!}{(l-m)!}であるため、 C=2l+14π(lm)!(l+m)! C=\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}} したがって、標準化された球面調和関数は以下の通りである。 Ylm(θ,ϕ)=2l+14π(lm)!(l+m)!Plm(cosθ)eimϕ Y_{l}^{m}(\theta,\phi)=\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}P_{l}^{m}(\cos\theta)e^{im\phi} 通常、量子力学で球面調和関数と言えば、特に断わりがない限り標準化されていると仮定される。