球面調和関数の正規化
📂数理物理学球面調和関数の正規化
定理
標準化された球面調和関数は以下の通りである。
Ylm(θ,ϕ)=4π2l+1(l+m)!(l−m)!Plm(cosθ)eimϕ
∇2f=r21∂r∂(r2∂r∂f)+r2sinθ1∂θ∂(sinθ∂θ∂f)+r2sin2θ1∂2ϕ∂2f=0
f(r,θ,ϕ)=R(r)Θ(θ)Φ(ϕ)
説明
球座標系におけるラプラス方程式で、極角θと方位角ϕに対する解を球面調和関数という。
Θ(θ)Φ(ϕ)=Ylm(θ,ϕ)=eimϕPlm(cosθ)
量子力学で球面調和関数を波動関数として扱う場合、標準化する必要がある。
∭∣R(r)Θ(θ)Φ(ϕ)∣2r2sinθdrdθdϕ=∫0∞∣R(r)∣2r2dr∫02π∫0π∣Ylm(θ,ϕ)∣2sinθdθdϕ=1
ここで、球面調和関数の角度成分だけを取り出し、標準化定数をCとする。すると、
⟹⟹∣C∣2∫02π∫0π∣Ylm(θ,ϕ)∣2sinθdθdϕ=1∣C∣2∫02π∣eimϕ∣2dϕ∫0π∣Plm(cosθ)∣2sinθdθ=12π∣C∣2∫0π∣Plm(cosθ)∣2sinθdθ=1
この時、θに対する積分は関連ルジャンドル多項式の直交性により2l+12(l−m)!(l+m)!であるため、
C=4π2l+1(l+m)!(l−m)!
したがって、標準化された球面調和関数は以下の通りである。
Ylm(θ,ϕ)=4π2l+1(l+m)!(l−m)!Plm(cosθ)eimϕ
通常、量子力学で球面調和関数と言えば、特に断わりがない限り標準化されていると仮定される。