📂整数論

算術関数の部分和に対する一般化されたディリクレ積表現

定理 ¹

$h = f \ast g$ における算術関数 $f,g,h$ について、次のように定義しよう。 $$F (x) := \sum_{n \le x} f(x) \\ G (x) := \sum_{n \le x} g(x) \\ H (x) := \sum_{n \le x} h(x)$$ すると、 $$H = f \circ G = g \circ F$$ ここで、操作 $\circ$ は一般化した畳み込みを意味한다。つまり、次が成り立つ。 $$H(x) = \sum_{n \le x} f(n) G \left( {{ x } \over { n }} \right) = \sum_{n \le x} g(n) F \left( {{ x } \over { n }} \right)$$

証明

$$U(x) := \begin{cases} 0 &, 0 < x < 1 \\ 1 &, 1 \le x\end{cases}$$ 上のように $x \in (0,1)$ から $U(x) = 0$ までの関数 $U : \mathbb{R}^{+} \to \mathbb{C}$ を定義すると、 $$F = f \circ U \\ G = g \circ U$$

一般化した畳み込みの性質: $\alpha$ と $\beta$ は算術関数であり、$F , G : \mathbb{R}^{+} \to \mathbb{C}$ は $x \in (0,1)$ で関数値が $0$ である関数なら、 $$\alpha \circ \left( \beta \circ F \right) = \left( \alpha \ast\ \beta \right) \circ F$$

一般化した畳み込みの性質により、 $$f \circ G = f \circ \left( g \circ U \right) = \left( f \ast\ g \right) \circ U = H \\ g \circ F = g \circ \left( f \circ U \right) = \left( g \ast\ f \right) \circ U = H$$

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