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ヒルベルト空間のフレーム 📂ヒルベルト空間

ヒルベルト空間のフレーム

定義1

ヒルベルト空間 HHのシーケンス {vk}k∈N\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}について、以下を満たすA,B>0A,B > 0が存在する場合、{vk}k∈N\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}をフレームframeと呼び、特にA=BA = Bの時、このフレームをタイトtightと言う。

A∥v∥2≤∑k∈N∣⟨v,vk⟩∣2≤B∥v∥2,∀v∈H A \left\| \mathbf{v} \right\|^{2} \le \sum_{k \in \mathbb{N}} \left| \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle \right|^{2} \le B \left\| \mathbf{v} \right\|^{2} \qquad , \forall \mathbf{v} \in H

説明

フレームは、ベッセルシーケンスと違って、AAが存在してv\mathbf{v}を上下から縛ります。特に、{vk}k∈N\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}がHHの正規直交基底なら、A=B=1A=B=1でタイトフレームであることと同値です。

正規直交基底の同値条件: HHをヒルベルト空間とする。HHの正規直交システム {ek}k∈N⊂H\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset Hについて、以下は全て同値です。

  • (i): {ek}k∈N⊂H\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset HはHHの正規直交基底です。
  • (iv): すべてのx∈H\mathbf{x}\in Hに対して ∑k∈N∣⟨x,ek⟩∣2=∥x∥2 \sum_{k \in \mathbb{N}} \left| \langle \mathbf{x}, \mathbf{e}_{k} \rangle \right|^{2} = \left\| \mathbf{x}\right\|^{2}

  1. Ole Christensen, Functions, Spaces, and Expansions: Mathematical Tools in Physics and Engineering (2010), p84-85 ↩︎