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ヒルベルト空間の正規直交基底とユニタリ作用素 📂ヒルベルト空間

ヒルベルト空間の正規直交基底とユニタリ作用素

定義

ヒルベルト空間 HH の シャウダー基底 {ek}k∈N\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} が 正規直交系 である場合、{ek}k∈N\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} を HH の 正規直交基底orthonormal Basis と呼ぶ。

定理1

正規直交基底の同値条件

  • [1]: HH が ヒルベルト空間 だとする。HH の 正規直交系 {ek}k∈N⊂H\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset H に対して、以下はすべて 同値 である。
    • (i): {ek}k∈N⊂H\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset H は HH の 正規直交基底 である。
    • (ii): すべての x∈H\mathbf{x}\in H に対して x=∑k∈N⟨x,ek⟩ek \mathbf{x}= \sum_{k \in \mathbb{N}} \langle \mathbf{x}, \mathbf{e}_{k} \rangle \mathbf{e}_{k}
    • (iii): すべての x,y∈H\mathbf{x}, \mathbf{y} \in H に対して ⟨x,y⟩=∑k∈N⟨x,ek⟩⟨ek,y⟩ \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = \sum_{k \in \mathbb{N}} \langle \mathbf{x}, \mathbf{e}_{k} \rangle \langle \mathbf{e}_{k} , \mathbf{y} \rangle
    • (iv): すべての x∈H\mathbf{x}\in H に対して ∑k∈N∣⟨x,ek⟩∣2=∥x∥2 \sum_{k \in \mathbb{N}} \left| \langle \mathbf{x}, \mathbf{e}_{k} \rangle \right|^{2} = \left\| \mathbf{x}\right\|^{2}
    • (v): span‾{ek}k∈N=H\overline{\text{span}} \left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} = H
    • (vi): x∈H\mathbf{x}\in H で、すべての k∈Nk \in \mathbb{N} に対して ⟨x,ek⟩=0\langle \mathbf{x}, \mathbf{e}_{k} \rangle = 0 ならば x=0\mathbf{x}= \mathbf{0}

ユニタリ作用素と正規直交基底

  • [2]: {ek}k∈N\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} を HH の正規直交基底とする。すると、HH の正規直交基底は、ユニタリ作用素 U:H→HU : H \to H に関して、正確に {Uek}k∈N\left\{ U \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} として表される。

説明

特に、定理 [2] のような結果を持って、HH のすべての正規直交基底がユニタリ作用素 UU によって 特徴付けられる と言う。

証明

[1] の証明は参考文献を参照。

[2]

{vk}k∈N\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} もまた、HH の正規直交基底とする。作用素 U:H→HU : H \to H を次のように定義する: U(∑k∈Nckek):=∑k∈Nckvk,∀ckk∈N∈l2 U \left( \sum_{k \in \mathbb{N}} c_{k} \mathbf{e}_{k} \right) := \sum_{k \in \mathbb{N}} c_{k} \mathbf{v}_{k} \qquad , \forall {c_{k}}_{k \in \mathbb{N}} \in l^{2} この場合、UU は有界で全単射であり、vk=Uek\mathbf{v}_{k} = U \mathbf{e}_{k} である。

{ek}k∈N\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} が HH の正規直交基底であるため、(i)   ⟹  \implies (ii) に従て、v,w∈H\mathbf{v} ,\mathbf{w} \in H を次のように表せる：

v=∑k∈N⟨v,ek⟩ekw=∑k∈N⟨w,ek⟩ek \mathbf{v} = \sum_{k \in \mathbb{N}} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle \mathbf{e}_{k} \\ \mathbf{w} = \sum_{k \in \mathbb{N}} \left\langle \mathbf{w} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle \mathbf{e}_{k}

すると、UU の定義と (i)   ⟹  \implies (iii) により、

⟨U∗Uv,w⟩=⟨Uv,Uw⟩=⟨∑k∈N⟨v,ek⟩ek,∑k∈N⟨w,ek⟩ek⟩=∑k∈N⟨v,ek⟩⟨w,ek⟩‾=⟨v,w⟩ \begin{align*} \left\langle U^{ \ast } U \mathbf{v} , \mathbf{w} \right\rangle =& \left\langle U \mathbf{v} , U \mathbf{w} \right\rangle \\ =& \left\langle \sum_{k \in \mathbb{N}} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle \mathbf{e}_{k} , \sum_{k \in \mathbb{N}} \left\langle \mathbf{w} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle \mathbf{e}_{k} \right\rangle \\ =& \sum_{k \in \mathbb{N}} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle \overline{\left\langle \mathbf{w} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle} \\ =& \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{w} \right\rangle \end{align*}

つまり、U∗U=IU^{ \ast } U = I ので、UU はユニタリ作用素であり、逆作用素 U−1=U∗U^{-1} = U^{ \ast } を持つ全単射である。一方、UU がユニタリである仮定から、

⟨Uei,Uej⟩=⟨U∗Uei,ej⟩=⟨ei,ej⟩=δij \left\langle U \mathbf{e}_{i} , U \mathbf{e}_{j} \right\rangle = \left\langle U^{ \ast } U \mathbf{e}_{i} , \mathbf{e}_{j} \right\rangle = \left\langle \mathbf{e}_{i} , \mathbf{e}_{j} \right\rangle = \delta_{ij}

すなわち、{Uek}k∈N\left\{ U \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} は正規直交集合である。これが HH の基底になるためには、すべての k∈Nk \in \mathbb{N} に対して ⟨v,Uek⟩=0\left\langle \mathbf{v} , U \mathbf{e}_{k} \right\rangle = 0 と仮定する。すると、すべての k∈Nk \in \mathbb{N} に対して ⟨U∗v,ek⟩=0\left\langle U^{ \ast } \mathbf{v} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle = 0 よって、U∗v=0U^{ \ast } \mathbf{v} = \mathbf{0} でなければならない。先に U∗=U−1U^{ \ast } = U^{-1} を示したので、両辺に UU を適用すれば、v=0\mathbf{v} = \mathbf{0} を得る。結果的に、(vi)   ⟹  \implies (i) に従って、{Uek}k∈N⊂H\left\{ U \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset H が HH の正規直交基底になることが確認できる。

■

  1. Ole Christensen, Functions, Spaces, and Expansions: Mathematical Tools in Physics and Engineering (2010), p80-83 ↩︎