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すべての可分ヒルベルト空間がl^2空間と等長同型であることの証明 📂ヒルベルト空間

すべての可分ヒルベルト空間がl^2空間と等長同型であることの証明

定理1

全ての無限次元分割可能ヒルベルト空間HHは、ℓ2\ell^{2}と等距離同型である。

説明

分割可能なヒルベルト空間がℓ2\ell^{2}と等距離同型であるという事実は、事実上、ヒルベルト空間の研究ではℓ2\ell^{2}だけを研究すればよいということを意味している。

証明

分割可能ヒルベルト空間のグラム・シュミット正規直交化

すべての分割可能ヒルベルト空間は正規直交基底を持つ。

ベッセルの不等式の補助定理

{vk}k∈N\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}がヒルベルト空間HHの正規直交集合である場合、次が成り立つ。

すべての{ck}k∈N∈ℓ2\left\{ c_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \in \ell^{2}に対し、無限級数∑k∈Nckvk\sum_{k \in \mathbb{N}} c_{k} \mathbf{v}_{k}は収束する。

ヒルベルト空間HHはグラム・シュミット正規直交化に従い、{ek}k∈N\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}を持ち、上記の補助定理により、∑k∈Nckek\sum_{k \in \mathbb{N}} c_{k} \mathbf{e}_{k}は全ての{ck}k∈N∈ℓ2\left\{ c_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \in \ell^{2}に対し収束性が保証される。今{δk}k∈N\left\{ \delta_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}をℓ2\ell^{2}の正規直交基底とし、作用素U:H→ℓ2U : H \to \ell^{2}を以下のように定義する。

U(∑k∈Nckek):=∑k∈Nckδk U \left( \sum_{k \in \mathbb{N}} c_{k} \mathbf{e}_{k} \right) := \sum_{k \in \mathbb{N}} c_{k} \delta_{k}

すると、UUは、HHとℓ2\ell^{2}の間の全単射である。

正規直交基底の同値条件: HHがヒルベルト空間であるとする。HHの正規直交システム{ek}k∈N⊂H\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset Hに対し、次は全て同値である。

  • (i): {ek}k∈N⊂H\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset HはHHの正規直交基底である。
  • (ii): 全てのx∈H\mathbf{x}\in Hに対して x=∑k∈N⟨x,ek⟩ek \mathbf{x}= \sum_{k \in \mathbb{N}} \langle \mathbf{x}, \mathbf{e}_{k} \rangle \mathbf{e}_{k}
  • (iv): 全てのx∈H\mathbf{x}\in Hに対して ∑k∈N∣⟨x,ek⟩∣2=∥x∥2 \sum_{k \in \mathbb{N}} \left| \langle \mathbf{x}, \mathbf{e}_{k} \rangle \right|^{2} = \left\| \mathbf{x}\right\|^{2}

全てのv∈H\mathbf{v} \in Hは正規直交基底{ek}k∈N\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}に対して、以下のように一意の展開を持つ。

v=∑k∈N⟨v,ek⟩ek \mathbf{v} = \sum_{k \in \mathbb{N}} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle \mathbf{e}_{k}

したがって、

∥Uv∥2=∥∑k∈N⟨v,ek⟩δk∥2=∑k∈N∣⟨v,ek⟩∣2=∥v∥2 \begin{align*} \left\| U \mathbf{v} \right\|^{2} =& \left\| \sum_{k \in \mathbb{N}} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle \delta_{k} \right\|^{2} \\ =& \sum_{k \in \mathbb{N}} \left| \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle \right|^{2} \\ =& \left\| \mathbf{v} \right\|^{2} \end{align*}

となり、U:H→ℓ2U : H \to \ell^{2}は等距離同型写像になる。

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  1. Ole Christensen, Functions, Spaces, and Expansions: Mathematical Tools in Physics and Engineering (2010), p82-83 ↩︎