球面座標系のラプラス方程式の一般解
定理
球面座標系でのラプラス方程式は下となる。
$$ \nabla ^2 f = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r} \left( r^2\frac{\partial f}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left( \sin\theta \frac{\partial f}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2 f}{\partial^2 \phi}=0 $$
説明
$f$が$f(r,\theta,\phi)=R(r)\Theta (\theta)\Phi (\phi)$に変数分離できると仮定しよう。径成分に対する一般解は、オイラー微分方程式を解くことにより下のように求めることができる。
$$ R(r)=\sum \limits_{l=0}^{\infty}R_{l}(r)=\sum \limits_{l=0}^{\infty}\left( A_{l}r^{l}+\frac{ B_{l}}{r^{l+1}} \right) $$
極角$\theta$と方位角$\phi$に対する解は特に球面調和関数と呼ばれ、次のようになる。
$$ Y_{l}^{m}(\theta,\phi)=e^{im\phi}P_{l}^{m}(\cos \theta) $$
ここで$P_{l}^{m}$は連立ルジャンドル多項式である。このとき$l$は非負の整数であり、$m$は$-l\le m \le l$を満たす整数である。したがって、$\theta$、$\phi$成分に対する一般解は下のようになる。
$$ \Theta (\theta)\Phi (\phi)=\sum\limits_{l=0}^{\infty}\sum\limits_{m=-l}^{l}e^{im\phi}P_{l}^{m}(\cos\theta) $$
上の二つの結果を総合すると、球面座標系でのラプラス方程式の一般解を下のように得ることができる。
$$ \begin{align*} f(r,\theta,\phi)&=R(r)\Theta (\theta)\Phi (\phi) \\ &=\sum \limits_{l=0}^{\infty}\sum\limits_{m=-l}^{l}\left( A_{l}r^{l}+\frac{ B_{l}}{r^{l+1}} \right)e^{im\phi}P_{l}^{m}(\cos\theta) \end{align*} $$
径成分に対して対称性を持つ場合、ラプラス方程式の解は球面調和関数である。方位角$\phi$に対する対称性がある場合、解は下のようになる。
$$ f(r,\theta) = \sum \limits_{l=0} ^\infty \left( A_{l} r^l + \dfrac{B_{l}}{r^{l+1} } \right) P_{l}(\cos \theta) $$
このとき$P_{l}(x)$はルジャンドル多項式である。