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無限次元ベクトル空間とシャウダー基底 📂バナッハ空間

無限次元ベクトル空間とシャウダー基底

定義1

(X,∥⋅∥)(X, \left\| \cdot \right\|)をノルム空間と呼ぶことにする。XXのすべての元x∈X\mathbf{x}\in Xに対して、以下を満たすスカラーの系列{ak}k∈N\left\{ a_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}が一意に存在するならば、{ek}k∈N⊂X\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset XをXXのシャウダー基底schauder basisという。

x=∑k∈Nakek \mathbf{x}= \sum_{k \in \mathbb{N}} a_{k} \mathbf{e}_{k}

説明

ベクトル空間の基底は、特に「無限」の線形結合について議論するとき、シャウダー基底と呼ばれる。無限について語るだけあって、バナッハ空間に関する性質が多く関連しており、特にヒルベルト空間については、以下の有用な定理が知られている。

正規直交基底の同値条件：HHがヒルベルト空間とする。HHの正規直交系{ek}k∈N⊂H\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset Hに対して、以下はすべて同値である。

  • (i): {ek}k∈N⊂H\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset HはHHの正規直交基底である。
  • (ii): すべてのx∈H\mathbf{x}\in Hに対して、 x=∑k∈N⟨x,ek⟩ek \mathbf{x}= \sum_{k \in \mathbb{N}} \langle \mathbf{x}, \mathbf{e}_{k} \rangle \mathbf{e}_{k}
  • (iii): すべてのx,y∈H\mathbf{x}, \mathbf{y} \in Hに対して、 ⟨x,y⟩=∑k∈N⟨x,ek⟩⟨ek,y⟩ \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = \sum_{k \in \mathbb{N}} \langle \mathbf{x}, \mathbf{e}_{k} \rangle \langle \mathbf{e}_{k} , \mathbf{y} \rangle
  • (iv): すべてのx∈H\mathbf{x}\in Hに対して、 ∑k∈N∣⟨x,ek⟩∣2=∥x∥2 \sum_{k \in \mathbb{N}} \left| \langle \mathbf{x}, \mathbf{e}_{k} \rangle \right|^{2} = \left\| \mathbf{x}\right\|^{2}
  • (v): span‾{ek}k∈N=H\overline{\text{span}} \left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} = H
  • (vi): x∈H\mathbf{x}\in Hであり、すべてのk∈Nk \in \mathbb{N}に対して、⟨x,ek⟩=0\langle \mathbf{x}, \mathbf{e}_{k} \rangle = 0ならばx=0\mathbf{x}= \mathbf{0}

参照

  1. Ole Christensen, Functions, Spaces, and Expansions: Mathematical Tools in Physics and Engineering (2010), p42 ↩︎