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ヒルベルト空間で一般化されたベッセルの不等式の証明 📂ヒルベルト空間

ヒルベルト空間で一般化されたベッセルの不等式の証明

定理1

{vk}k∈N\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}がヒルベルト空間HHの正規直交集合だとすると、次が成り立つ。

(a) 全ての{ck}k∈N∈ℓ2\left\{ c_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \in \ell^{2}に対して、無限級数∑k∈Nckvk\sum_{k \in \mathbb{N}} c_{k} \mathbf{v}_{k}は収束する。

(b) 全てのv∈H\mathbf{v} \in Hに対して、

∑k∈N∣⟨v,vk⟩∣2≤∥v∥2 \sum_{k \in \mathbb{N}} \left| \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle \right|^{2} \le \left\| \mathbf{v} \right\|^{2}

解説

ℓ2\ell^{2}空間とは、二乗の合計が収束する複素数のシーケンスの集まりから成る関数空間のことである。ベッセルの不等式は、フーリエ解析で重要視され、一般的なヒルベルト空間に拡張できる。

証明

(a)

{ck}k∈N∈ℓ2\left\{ c_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \in \ell^{2}とする。全ての自然数n>mn > mに対して、

∥∑k=1nckvk−∑k=1mckvk∥2=∥∑k=m+1nckvk∥2=⟨∑k=m+1nckvk,∑l=m+1nclvl⟩=∑k=m+1n∑l=m+1nckcl‾⟨vk,vl⟩ \begin{align*} \left\| \sum_{k=1}^{n} c_{k} \mathbf{v}_{k} - \sum_{k=1}^{m} c_{k} \mathbf{v}_{k} \right\|^{2} =& \left\| \sum_{k=m+1}^{n} c_{k} \mathbf{v}_{k} \right\|^{2} \\ =& \left\langle \sum_{k=m+1}^{n} c_{k} \mathbf{v}_{k} , \sum_{l=m+1}^{n} c_{l} \mathbf{v}_{l} \right\rangle \\ =& \sum_{k = m+1}^{n} \sum_{l = m+1}^{n} c_{k} \overline{c_{l}} \left\langle \mathbf{v}_{k} , \mathbf{v}_{l} \right\rangle \end{align*}

{vk}k∈N\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}の正規直交性により、

∥∑k=1nckvk−∑k=1mckvk∥2=∑k=m+1nckck‾=∑k=m+1n∣ck∣2 \left\| \sum_{k=1}^{n} c_{k} \mathbf{v}_{k} - \sum_{k=1}^{m} c_{k} \mathbf{v}_{k} \right\|^{2} = \sum_{k=m+1}^{n} c_{k} \overline{c_{k}} = \sum_{k=m+1}^{n} \left| c_{k} \right|^{2}

したがって、lim⁡m→∞∑k=m+1n∣ck∣2=0\lim_{m \to \infty} \sum_{k=m+1}^{n} \left| c_{k} \right|^{2} = 0であり、{∑k=1nckvk}n∈N\left\{ \sum_{k =1}^{n} c_{k} \mathbf{v}_{k} \right\}_{n \in \mathbb{N}}はHHのコーシーシーケンスなので、収束する。

■

(b)

上記の**(a)**により、以下の存在が保証され、ピタゴラスの定理により、

∥∑k=1∞ckvk∥2=∑k=1∞∣ck∣2 \left\| \sum_{k=1}^{\infty} c_{k} \mathbf{v}_{k} \right\|^{2} = \sum_{k=1}^{\infty} \left| c_{k} \right|^{2}

今、T:ℓ2→HT : \ell^{2} \to HをT{ck}k∈N:=∑k∈NckvkT \left\{ c_{k} \right\} _{k \in \mathbb{N}} := \sum_{k \in \mathbb{N}} c_{k} \mathbf{v}_{k}として定義しよう。

ベッセルシーケンスの同値条件

ヒルベルト空間HHのシーケンス{vk}k∈N⊂H\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset HおよびB>0B > 0が与えられている場合、以下の2つの命題は同値である。

  • {vk}k∈N\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}がベッセル境界BBを持つベッセルシーケンスだ。

  • 以下のように定義された作用素TTが線形であり、∥T∥≤B\left\| T \right\| \le \sqrt{B}を満たす範囲で有界である。 T:ℓ2→HT{ck}k∈N:=∑k∈Nckvk T : \ell^{2} \to H \\ T \left\{ c_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} := \sum_{k \in \mathbb{N}} c_{k} \mathbf{v}_{k}

ベッセルシーケンスの定義

ヒルベルト空間HHのシーケンス{vk}k∈N⊂H\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset Hに対して、以下を満たすB>0B > 0が存在する場合、{vk}k∈N\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}をベッセルシーケンスと呼び、BBをベッセル境界とする。 ∑k=1∞∣⟨v,vk⟩∣2≤B∥v∥2,∀v∈H \sum_{k=1}^{\infty} \left| \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle \right|^{2 } \le B \left\| \mathbf{v} \right\|^{2},\quad \forall \mathbf{v} \in H

したがって、TTは∥T∥=1\left\| T \right\| = 1を満たす範囲で線形かつ有界なので、{vk}k∈N\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}はベッセル境界B=1B=1を持つベッセルシーケンスである。ベッセルシーケンスの定義により、以下が成り立つ。

∑k∈N∣⟨v,vk⟩∣2≤∥v∥2 \sum_{k \in \mathbb{N}} \left| \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle \right|^{2} \le \left\| \mathbf{v} \right\|^{2}

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参考

  1. Ole Christensen, Functions, Spaces, and Expansions: Mathematical Tools in Physics and Engineering (2010), p78-79 ↩︎