📂ヒルベルト空間

ヒルベルト空間で一般化されたベッセルの不等式の証明

定理¹

$\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$がヒルベルト空間$H$の正規直交集合だとすると、次が成り立つ。

(a) 全ての$\left\{ c_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \in \ell^{2}$に対して、無限級数$\sum_{k \in \mathbb{N}} c_{k} \mathbf{v}_{k}$は収束する。

(b) 全ての$\mathbf{v} \in H$に対して、

$$ \sum_{k \in \mathbb{N}} \left| \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle \right|^{2} \le \left\| \mathbf{v} \right\|^{2} $$

解説

$\ell^{2}$空間とは、二乗の合計が収束する複素数のシーケンスの集まりから成る関数空間のことである。ベッセルの不等式は、フーリエ解析で重要視され、一般的なヒルベルト空間に拡張できる。

証明

(a)

$\left\{ c_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \in \ell^{2}$とする。全ての自然数$n > m$に対して、

$$ \begin{align*} \left\| \sum_{k=1}^{n} c_{k} \mathbf{v}_{k} - \sum_{k=1}^{m} c_{k} \mathbf{v}_{k} \right\|^{2} =& \left\| \sum_{k=m+1}^{n} c_{k} \mathbf{v}_{k} \right\|^{2} \\ =& \left\langle \sum_{k=m+1}^{n} c_{k} \mathbf{v}_{k} , \sum_{l=m+1}^{n} c_{l} \mathbf{v}_{l} \right\rangle \\ =& \sum_{k = m+1}^{n} \sum_{l = m+1}^{n} c_{k} \overline{c_{l}} \left\langle \mathbf{v}_{k} , \mathbf{v}_{l} \right\rangle \end{align*} $$

$\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$の正規直交性により、

$$ \left\| \sum_{k=1}^{n} c_{k} \mathbf{v}_{k} - \sum_{k=1}^{m} c_{k} \mathbf{v}_{k} \right\|^{2} = \sum_{k=m+1}^{n} c_{k} \overline{c_{k}} = \sum_{k=m+1}^{n} \left| c_{k} \right|^{2} $$

したがって、$\lim_{m \to \infty} \sum_{k=m+1}^{n} \left| c_{k} \right|^{2} = 0$であり、$\left\{ \sum_{k =1}^{n} c_{k} \mathbf{v}_{k} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$は$H$のコーシーシーケンスなので、収束する。

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(b)

上記の**(a)**により、以下の存在が保証され、ピタゴラスの定理により、

$$ \left\| \sum_{k=1}^{\infty} c_{k} \mathbf{v}_{k} \right\|^{2} = \sum_{k=1}^{\infty} \left| c_{k} \right|^{2} $$

今、$T : \ell^{2} \to H$を$T \left\{ c_{k} \right\} _{k \in \mathbb{N}} := \sum_{k \in \mathbb{N}} c_{k} \mathbf{v}_{k}$として定義しよう。

ベッセルシーケンスの同値条件

ヒルベルト空間$H$のシーケンス$\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset H$および$B > 0$が与えられている場合、以下の2つの命題は同値である。

• $\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$がベッセル境界$B$を持つベッセルシーケンスだ。

• 以下のように定義された作用素$T$が線形であり、$\left\| T \right\| \le \sqrt{B}$を満たす範囲で有界である。 $$ T : \ell^{2} \to H \\ T \left\{ c_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} := \sum_{k \in \mathbb{N}} c_{k} \mathbf{v}_{k} $$

ベッセルシーケンスの定義

ヒルベルト空間$H$のシーケンス$\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset H$に対して、以下を満たす$B > 0$が存在する場合、$\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$をベッセルシーケンスと呼び、$B$をベッセル境界とする。 $$ \sum_{k=1}^{\infty} \left| \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle \right|^{2 } \le B \left\| \mathbf{v} \right\|^{2},\quad \forall \mathbf{v} \in H $$

したがって、$T$は$\left\| T \right\| = 1$を満たす範囲で線形かつ有界なので、$\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$はベッセル境界$B=1$を持つベッセルシーケンスである。ベッセルシーケンスの定義により、以下が成り立つ。

$$ \sum_{k \in \mathbb{N}} \left| \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle \right|^{2} \le \left\| \mathbf{v} \right\|^{2} $$

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参考

• フーリエ解析におけるベッセルの不等式