📂量子力学

パリティ演算子

定義

次のように定義された演算子 $P$をパリティ演算子^{parity operator}と言う。

$$P\psi (x) = \psi (-x)$$

説明

波動関数の位置変数を対称移動する演算子だ。

パリティ演算子 $P$は、量子力学で 縮退している二つの固有関数を区別するのに使われる演算子だ。次のように縮退した二つの波動関数があるとしよう。

$$\psi_{1}(x)=e^{ikx},\quad \psi_{2}(x)=e^{-ikx}$$

それでは、エネルギー演算子 $H$に対する固有値方程式を解くことで二つの波動関数を区別することはできない。

$$H\psi_{1} = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}\psi_{1} \\[1em] H\psi_2 = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}\psi_2$$

では次のようにしよう。

$$u_{+}(x)=\psi_{1}(x) +\psi_{2}(x) \\[1em] u_{-}(x)=\psi_{1}(x)-\psi_{2}(x)$$

それでは、パリティ演算子に対する固有値がそれぞれ $+1$と$-1$で異なり、二つの関数を区別できるようになる。

$$\begin{align*} Pu_{+} &= e^{-ikx}+e^{ikx} =u_{+} \\ Pu_{-} &= e^{-ikx}-e^{ikx} =-u_{-} \end{align*}$$

それに対して、パリティ演算子の定義により波動関数は絶対にパリティ演算子の固有関数になることはできないことが分かる。一方で、波動関数は$P^{2}$の固有関数であり、固有値は$1$であることを示すことができる。

性質

$$P^{2} \psi (x) = \psi (x)$$

証明

$$P^{2}\psi (x)=P(P\psi (x))=P\psi (-x)=\psi (x)$$

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