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幾何的デュアルグラフ 📂グラフ理論

幾何的デュアルグラフ

定義 1

与えられた平面グラフ GGに対して、幾何学的双対グラフ GG^{ \ast }は以下のように作られる。

  • ステップ 1.
    GGの各フェース ffに対応する頂点 vv^{ \ast }を置く。
  • ステップ 2.
    GGの各エッジ eeと重なるように対応するエッジ ee^{ \ast }を描く。
  • ステップ 3.
    元のグラフを消して、vv^{ \ast }ee^{ \ast }で構成されるグラフをGG^{ \ast }とする。

  • 平面グラフが描かれると、平面上で区別される領域をフェースと呼ぶ。

説明

双対性dualityは、数学や物理学全般で一般的に見られる普遍的な概念であり、関数解析学では双対空間などの形で現れる。具体的に、以下のグラフ GGに対してその双対グラフ GG^{ \ast }を作ってみよう:

20200415\_145657.png グラフ GGは3つのフェース f1,f2,f3f_{1} , f_{2}, f_{3}を持っている。各フェースに対応する3つの頂点 vv^{ \ast }を次のように置く。

20200415\_145704.png 今、各 vv^{ \ast }を繋ぐエッジ ee^{ \ast }を引く。ただし、この時のエッジは全て元のグラフのエッジ GGを通るように引かなければならない。

20200415\_145713.png 元のグラフを消せば、求めていたGGの双対グラフ GG^{ \ast }だけが残る。GGが単純グラフだからといってGG^{ \ast }も単純グラフである必要はないことに注意せよ。

20200415\_145722.png

一方で、双対グラフは次のような直感的な性質を持ち、特に性質[3]は、双対という概念が抽象的に拡張される可能性を示している。

基本性質

  • [1]: 連結平面グラフ GGnn個の頂点、mm個のエッジ、ff個のフェースを持ち、その幾何学的双対グラフ GG^{ \ast }nn^{ \ast }個の頂点、mm^{ \ast }個のエッジ、ff^{ \ast }個のフェースを持つ場合、 n=fm=mf=n n^{ \ast } = f \\ m^{ \ast } = m \\ f^{ \ast } = n
  • [2]: GGが連結平面グラフなら、GG^{\ast \ast}GG同型である。
  • [3]: 平面グラフ GGとその幾何学的双対グラフ GG^{ \ast }について、CE(G)C \subset E(G)サイクル     \iff CE(G)C^{ \ast } \subset E \left( G^{ \ast } \right)カットセットになる

証明

[3]

()(\Rightarrow)

GGサイクル CCは少なくとも一つのフェースを囲んでいるので、これらのフェースに対応するGG^{ \ast }の頂点集合 SS \ne \emptysetが存在するだろう。CCに対応するCC^{ \ast }GG^{ \ast }から取り除くと、GG^{ \ast }SSだけで構成されたグラフとV(G)SV(G) \setminus Sだけで構成された2つのサブグラフに分かれるので、CC^{ \ast }GG^{ \ast }のカットセットになる。


()(\Leftarrow)

実質同じなので省略する。


  1. Wilson. (1970). Introduction to Graph Theory: p73. ↩︎