📂ヒルベルト空間

ヒルベルト空間のベッセル列

定義¹

ヒルベルト空間 $H$のシーケンス $\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset H$に対して、以下を満たす$B > 0$が存在した場合、$\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$をベッセルシーケンス^{bessel sequence}と呼び、$B$をベッセルバウンド^{bessel bound}という。

$$ \sum_{k=1}^{\infty} \left| \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle \right|^{2 } \le B \left\| \mathbf{v} \right\|^{2}, \quad \forall \mathbf{v} \in H $$

説明

直感的に見ると、ベッセルシーケンスは無限次元ベクトル$\mathbf{v}$の係数が後ろに行くほど小さくなるように曲げるシーケンスと見ることができる。ほとんどの数学と同様に、バウンドされていないものは研究が難しいが、ベッセルシーケンスの存在が与えられるだけでさまざまな危険な飛躍から自由になることができる。もちろんその存在を見出すために以下のような簡単な同値条件が知られている。

定理

ヒルベルト空間$H$のシーケンス $\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset H$と$B > 0$が与えられたとする。以下の二つの条件は同値である。

• $\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$がベッセルバウンド$B$を持つベッセルシーケンスである。

• 以下のように定義された作用素 $T$が線形で、有界であり、$\left\| T \right\| \le \sqrt{B}$を満たしている。

  $$ T : l^{2} \to H \\ T \left\{ c_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} := \sum_{k \in \mathbb{N}} c_{k} \mathbf{v}_{k} $$

証明

• $(\implies)$

  $\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$がベッセルバウンド$B$を持つベッセルシーケンスであり、$\left\{ c_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \in l^{2}$とする。$T \left\{ c_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} = \sum_{k \in \mathbb{N}} c_{k} \mathbf{v}_{k}$が収束してうまく定義されることを示すために、二つの自然数 $n > m$を考える。

  $$ \left\| \sum_{k =1}^{n} c_{k} \mathbf{v}_{k} - \sum_{k =1}^{m} c_{k} \mathbf{v}_{k} \right\| = \left\| \sum_{k = m + 1}^{n} c_{k} \mathbf{v}_{k} \right\| = \sup_{\left\| \mathbf{w} \right\| = 1 } \left| \sum_{k = m + 1}^{n} \left\langle c_{k} \mathbf{v}_{k} , \mathbf{w} \right\rangle \right| $$

  三角不等式により、

  $$ \sup_{\left\| \mathbf{w} \right\| = 1 } \left| \sum_{k = m + 1}^{n} \left\langle c_{k} \mathbf{v}_{k} , \mathbf{w} \right\rangle \right| \le \sup_{\left\| \mathbf{w} \right\| = 1 } \sum_{k = m + 1}^{n} \left| \left\langle c_{k} \mathbf{v}_{k} , \mathbf{w} \right\rangle \right| $$

  コーシー・シュワルツの不等式により、

  $$ \begin{align*} & \sup_{\left\| \mathbf{w} \right\| = 1 } \sum_{k = m + 1}^{n} \left| \left\langle c_{k} \mathbf{v}_{k} , \mathbf{w} \right\rangle \right| \\ \le & \left( \sum_{k = m + 1}^{n} \left| c_{k} \right|^{2} \right)^{1/2} \sup_{\left\| \mathbf{w} \right\| = 1 } \left( \sum_{k = m + 1}^{n} \left| \left\langle \mathbf{v}_{k} , \mathbf{w} \right\rangle \right|^{2} \right)^{1/2} \\ \le & \left( \sum_{k = m + 1}^{n} \left| c_{k} \right|^{2} \right)^{1/2} \sqrt{B} \end{align*} $$

  $\left\{ c_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \in l^{2}$はコーシー数列なので、$\displaystyle \left\{ \sum_{k=1}^{n} c_{k} \mathbf{v} \right\}_{n=1}^{\infty} \subset H$もコーシー数列であり、したがって$T$がうまく定義されることが確認できる。$T$は定義により、線形であり、

  $$ \begin{align*} \left\| T \left\{ c_{K} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \right\| =& \sup_{\left\| \mathbf{w} \right\| = 1 } \left| \left\langle T \left\{ c_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} , \mathbf{w} \right\rangle \right| \\ \le & \sqrt{B} \left( \sum_{k \in \mathbb{N}} \left| c_{k} \right|^{2} \right)^{1/2} \\ =& \sqrt{B} \left\| \left\{ c_{k \in \mathbb{N}} \right\} \right\|_{2} \end{align*} $$

  これにより、両側を$\left\| \left\{ c_{k \in \mathbb{N}} \right\} \right\|_{2}$で割ると$\left\| T \right\| \le \sqrt{B}$を得る。

• $(\impliedby)$

  $\left\{ \mathbf{v}_k \right\}_{k \in \mathbb{N}}$がヒルベルト空間$H$で定義されたシーケンスだとする。有界線形作用素$T : l^{2} \to H$が以下のように定義されているとする。

  $$ T \left\{ c_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} := \sum_{k=1}^{\infty} c_{k} \mathbf{v}_{k} $$

  すると、$T$の随伴作用素$T^{ \ast } : H \to l^{2}$は次のように表される。

  $$ T^{ \ast } \mathbf{v} = \left\{ \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle_{H} \right\}_{k \in \mathbb{N}} $$

  さらに、すべての$\mathbf{v} \in H$に対して、

  $$ \sum_{k=1}^{\infty} \left| \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle_{H} \right|^{2} \le \left\| T \right\|^{2} \left\| \mathbf{v} \right\|_{H}^{2} $$

  $T$は$\left\| T \right\| \le \sqrt{B}$を満たすように定義されているので、

  $$ \sum_{k=1}^{\infty} \left| \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle \right|^{2} \le \left\| T \right\|^{2} \left\| \mathbf{v} \right\|^{2} \le B \left\| \mathbf{v} \right\|^{2} $$

  したがって、$\left\{ \mathbf{v}_k \right\}_{k \in \mathbb{N}}$はベッセルバウンド$B$を持つベッセルシーケンスとなる。

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