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解析的整数論におけるオイラーのトーシェント関数 📂整数論

解析的整数論におけるオイラーのトーシェント関数

定義 1

以下のように定義される算術関数 φ\varphiトーシェント関数という。 φ(n):=gcd(k,n)=11 \varphi (n) := \sum_{\gcd ( k , n ) = 1} 1

基本性質

  • [1] トーシェント級数: ノルム NN である。つまり、 dnφ(d)=N(n) \sum_{d \mid n } \varphi (d) = N(n)
  • [2] 乗法性: gcd(m,n)=1\gcd (m,n) = 1 を満たす全ての m,nNm, n \in \mathbb{N} に対して φ(mn)=φ(m)φ(n)\varphi (mn) = \varphi (m) \varphi (n)

説明

n12345678910φ(n)1122426464dnφ(d)12345678910 \begin{matrix} n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \varphi(n) & 1 & 1 & 2 & 2 & 4 & 2 & 6 & 4 & 6 & 4 \\ \sum_{d \mid n} \varphi(d) & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \end{matrix} そう、それは初等整数論のトーシェント関数だ。多くの神秘的な性質を持っているため、解析的整数論でも言及されないわけにはいかない。

定義

[1]

定義通り直接導き出す。

[2]

場合分けして直接導き出す。

関連項目


  1. Apostol. (1976). Introduction to Analytic Number Theory: p25. ↩︎