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双極子が作る電界 📂電磁気学

双極子が作る電界

説明1

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電気双極子 p\mathbf{p}による電位は次のとおりだ。

Vdip(r)=14πϵ0p⋅r^r2=14πϵ0pcos⁡θr2 V_{\text{dip}}(\mathbf{r}) = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\dfrac{\mathbf{p}\cdot\hat{\mathbf{r}}}{r^2} = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\dfrac{p\cos\theta}{r^{2}}

今、p\mathbf{p}が原点にあり、上の図のようにzz軸に平行であるとする。電場は電位の勾配なので、球座標系で次のようになる。

E=−∇V=−(∂V∂rr^+1r∂V∂θθ^+1rsin⁡θ∂V∂ϕϕ^) \mathbf{E} = - \nabla V = -\left( \dfrac{\partial V}{\partial r}\hat{\mathbf{r}} + \frac{1}{r}\dfrac{\partial V}{\partial \theta}\hat{\boldsymbol{\theta}} + \dfrac{1}{r \sin\theta}\dfrac{\partial V}{\partial \phi}\hat{\boldsymbol{\phi}}\right)

各成分を計算すると以下のようになる。

Er=−∂V∂r=−14πϵ02pcos⁡θr3Eθ=−1r∂V∂θ=14πϵ0psin⁡θr3Eϕ=−1rsin⁡θ∂V∂ϕ=0 \begin{align*} E_{r} &= -\dfrac{\partial V}{\partial r} = -\dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\dfrac{2p\cos\theta}{r^{3}} \\ E_{\theta} &= -\frac{1}{r}\dfrac{\partial V}{\partial \theta} = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\dfrac{p\sin\theta}{r^{3}} \\ E_{\phi} &= -\dfrac{1}{r \sin\theta}\dfrac{\partial V}{\partial \phi} = 0 \end{align*}

したがって、双極子が作る電場は次のようになる。

Edip(r,θ)=14πϵ0pr3(2cos⁡θr^+sin⁡θθ^) \begin{equation} \mathbf{E}_{\text{dip}}(r,\theta)=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}\frac{p}{r^3}(2\cos\theta \hat{\mathbf{r}} + \sin\theta \hat{\boldsymbol{\theta}}) \end{equation}

式

上の式を座標系に関係なく変換すると次のようになる。

Edip(r)=14πϵ01r3[3(p⋅r^)r^−p] \mathbf{E}_{\text{dip}}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}\frac{1}{r^3}[3 (\mathbf{p} \cdot \hat{\mathbf{r}}) \hat{\mathbf{r}} - \mathbf{p}]

導出

まず、球座標系の単位ベクトルを直交座標系の単位ベクトルで表示すると次のようになる。

r^= cos⁡ϕsin⁡θx^+sin⁡ϕsin⁡θy^+cos⁡θz^θ^= cos⁡ϕcos⁡θx^+sin⁡ϕcos⁡θy^−sin⁡θz^ \begin{align*} \hat{\mathbf{r}} =&\ \cos\phi \sin\theta \hat{\mathbf{x}} + \sin\phi \sin\theta\hat{\mathbf{y}} + \cos\theta\hat{\mathbf{z}} \\ \hat{\boldsymbol{\theta}} =&\ \cos\phi \cos\theta \hat{\mathbf{x}} + \sin\phi \cos\theta\hat{\mathbf{y}} - \sin\theta\hat{\mathbf{z}} \end{align*}

したがって、(1)(1)の括弧内の式を計算すると次のようになる。

2cos⁡θr^+sin⁡θθ^= 2cos⁡ϕsin⁡θcos⁡θx^+2sin⁡ϕsin⁡θcos⁡θy^+2cos⁡2θz^+cos⁡ϕsin⁡θcos⁡θx^+sin⁡ϕcos⁡θsin⁡θy^−sin⁡2θz^= 3cos⁡ϕsin⁡θcos⁡θx^+3sin⁡ϕsin⁡θcos⁡θy^+3cos⁡2θz^−(sin⁡2θ+cos⁡2θ)z^= 3cos⁡θ(cos⁡ϕsin⁡θx^+sin⁡ϕsin⁡θy^+cos⁡θz^)−z^= 3(p^⋅r^)r^−z^ \begin{align*} & 2\cos\theta \hat{\mathbf{r}} + \sin \theta \hat{\boldsymbol{\theta}} \\ =&\ 2 \cos\phi \sin\theta \cos\theta \hat{\mathbf{x}} + 2 \sin\phi \sin\theta \cos\theta \hat{\mathbf{y}} + 2 \cos^2 \theta \hat{\mathbf{z}} \\ & + \cos\phi \sin\theta \cos\theta \hat{\mathbf{x}} + \sin\phi \cos\theta \sin\theta \hat{\mathbf{y}} -\sin^2\theta \hat{\mathbf{z}} \\ =&\ 3\cos\phi \sin\theta \cos\theta \hat{\mathbf{x}} + 3 \sin\phi \sin\theta \cos\theta \hat{\mathbf{y}} + 3 \cos^2 \theta \hat{\mathbf{z}} -(\sin^2\theta + \cos^2\theta)\hat{\mathbf{z}} \\ =&\ 3 \cos\theta (\cos\phi \sin\theta \hat{\mathbf{x}} + \sin\phi \sin\theta\hat{\mathbf{y}} + \cos\theta\hat{\mathbf{z}}) - \hat{\mathbf{z}} \\ =&\ 3 (\hat{\mathbf{p}} \cdot \hat{\mathbf{r}}) \hat{\mathbf{r}} - \hat{\mathbf{z}} \end{align*}

最後の等号はcos⁡θ=p^⋅r^\cos\theta = \hat{\mathbf{p}} \cdot \hat{\mathbf{r}}であるため成立する。これで次の結果を得る。

Edip(r,θ)= 14πϵ0pr3(2cos⁡θr^+sin⁡θθ^)= 14πϵ0pr3[3(p^⋅r^)r^−z^]= 14πϵ01r3[3(p⋅r^)r^−pz^]= 14πϵ01r3[3(p⋅r^)r^−p]= Edip(r) \begin{align*} \mathbf{E}_{\text{dip}}(r,\theta) =&\ \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}\frac{p}{r^3}(2\cos\theta \hat{\mathbf{r}} + \sin\theta \hat{\boldsymbol{\theta}}) \\[1em] =&\ \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}\frac{p}{r^3}[3 (\hat{\mathbf{p}} \cdot \hat{\mathbf{r}}) \hat{\mathbf{r}} - \hat{\mathbf{z}}] \\[1em] =&\ \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}\frac{1}{r^3}[3 (\mathbf{p} \cdot \hat{\mathbf{r}}) \hat{\mathbf{r}} - p \hat{\mathbf{z}}] \\[1em] =&\ \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}\frac{1}{r^3}[3 (\mathbf{p} \cdot \hat{\mathbf{r}}) \hat{\mathbf{r}} - \mathbf{p}] \\[1em] =&\ \mathbf{E}_{\text{dip}}( \mathbf{r} ) \end{align*}

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  1. David J. Griffiths, 基礎電磁気学(Introduction to Electrodynamics, 金晋成 訳) (第4版, 2014), p169-170 ↩︎