乗法的関数のアーベル群
定理1
乗法的関数の集まり $M$と二項演算 $\ast$について $(M,*)$はアーベル群だ。
説明
算術関数の集合 $A$がコンボリューション $\ast$ とともに アーベル群 $(A,*)$となるように、乗法的関数もアーベル群となる。もちろん $M \le A$、すなわち $M$ が $A$ のサブグループになる。
証明
モノイド $\left< G, \ast\ \right>$の元 $a$と単位元 $e$に関して$a \ast\ a’ = a’ \ast\ a = e$を満たす$a '$が存在する場合、$\left< G, \ast\ \right>$を群groupと定義する。すなわち、群は以下の性質を満たす二項演算構造だ。
- (i): 演算に対して結合律が成立する。
- (ii): すべての元に対して単位元が存在する。
- (iii): すべての元に対して逆元が存在する。
ここに、次の条件を追加的に満たす場合、アーベル群と言う。
- (iv): 演算に対して交換律が成立する。
Part (i), (iv). 結合律と交換律
- 結合律: $\left( f \ast g \right) \ast k = f \ast (g \ast k)$
- 交換律: $f \ast\ g = g \ast\ f$
乗法的関数は算術関数であり、すべての算術関数は結合律と交換律を満たす。
Part (ii). 単位元
アイデンティティ: 以下のように定義された算術関数 $I$ をアイデンティティ関数という。 $$ I(n) := \left[ {{ 1 } \over { n }} \right] $$
$$ I(mn) = I(m) I(n) = \begin{cases} 1 &, m = n = 1 \\ 0 & , \text{otherwise} \end{cases} $$ であるから、完全乗法的関数であり、当然 $I \in M$ である。すべての算術関数に対して アイデンティティ $M$ は次を満たすために $( M,*)$ の単位元として存在する。 $$ I \ast\ f = f \ast\ I = f $$
- [1]: $f$ と $g$ が乗法的関数ならば $f \ast\ g$ も乗法的関数だ。
- [2]: $g$ と $f \ast g$ が乗法的関数ならば $f$ も乗法的関数だ。
Part (i). $\ast$に対して閉じている
コンボリューションに関する乗法的性質 [1]によれば$M$は$\ast$に対して閉じている。
Part (iv). 逆元
乗法的関数の性質: $f$ が乗法的ならば $f(1) = 1$ である。
コンボリューションにおけるインバース: 算術関数 $f$ が $f(1) \ne 0$ を満たす場合、そのインバース$f^{-1}$ は唯一存在する。
乗法的関数 $f$ は算術関数であり、乗法的関数の性質により$f(1) \ne 0$を満たすため、インバース$f^{-1}$が存在する。一方、**Part (iii).**で $f \ast\ f^{-1} = I \in M$ であり、コンボリューションに関する乗法的性質 [2]により、$f \ast\ g = I$ を満たす $g = f^{-1}$ は乗法的関数でなければならない。つまり、乗法的関数$f \in M$に対してインバース$f^{-1} \in M$は唯一存在する。
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Apostol. (1976). Introduction to Analytic Number Theory: p35~36. ↩︎