📂数理物理学

直交座標系の単位ベクトルで表された球面座標系の単位ベクトル

球面座標系の単位ベクトル

$$\begin{align*} \hat{\mathbf{r}} &= \cos\phi \sin\theta\hat{\mathbf{x}} + \sin\phi \sin\theta\hat{\mathbf{y}} + \cos\theta\hat{\mathbf{z}} \\ \hat{\boldsymbol{\theta}} &= \cos\phi \cos\theta \hat{\mathbf{x}} + \sin\phi \cos\theta \hat{\mathbf{y}} - \sin\theta\hat{\mathbf{z}} \\ \hat{\boldsymbol{\phi}} &= -\sin\phi \hat{\mathbf{x}} + \cos\phi \hat{\mathbf{y}} \end{align*}$$

導出

まず、$\hat{\mathbf{r}}$を計算してから、残りの二つを求める。

半径方向の単位ベクトル $\hat{\mathbf{r}}$

$$\hat{\mathbf{r}}=r\hat{\mathbf{r}}=x\hat{\mathbf{x}}+y\hat{\mathbf{y}}+z\hat{\mathbf{z}}$$

したがって、両辺を$r$で割ると、

$$\begin{align*} \hat{\mathbf{r}}&=\frac{x}{r}\hat{\mathbf{x}}+\frac{y}{r}\hat{\mathbf{y}}+\frac{z}{r}\hat{\mathbf{z}} \\ &= \frac{x}{r \sin\theta}\sin\theta\hat{\mathbf{x}}+\frac{y}{r \sin\theta}\sin\theta\hat{\mathbf{y}}+\cos\theta\hat{\mathbf{z}} \\ &= \cos\phi \sin\theta \hat{\mathbf{x}} + \sin\phi \sin\theta\hat{\mathbf{y}} + \cos\theta\hat{\mathbf{z}} =\hat{\mathbf{r}}(\theta,\phi) \end{align*}$$

極角方向の単位ベクトル $\hat{\boldsymbol{\theta}}$

$\hat{\boldsymbol{\theta}}$は、$\hat{\mathbf{r}}$方向から$\phi$はそのままで$\theta$だけ$\dfrac{\pi}{2}$増加するから、以下のようになる。

$$\begin{align*} \hat{\boldsymbol{\theta}} &= \hat{\mathbf{r}} \left(\theta+\dfrac{\pi}{2}, \phi \right) \\ &= \cos\phi \sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{2}\right) \hat{\mathbf{x}} + \sin\phi \sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{2}\right)\hat{\mathbf{y}} + \cos\left(\theta+\dfrac{\pi}{2}\right)\hat{\mathbf{z}} \\ &= \cos\phi \cos\theta \hat{\mathbf{x}} + \sin\phi \cos\theta\hat{\mathbf{y}} - \sin\theta\hat{\mathbf{z}} \end{align*}$$

方位角方向の単位ベクトル $\hat{\boldsymbol{\phi}}$

$\hat{\boldsymbol{\phi}}=\hat{\mathbf{r}} \times \hat{\boldsymbol{\theta}}$であるから、次のようになる。

$$\begin{align*} \hat{\boldsymbol{\phi}} &= \begin{vmatrix} \hat{\mathbf{x}} & \hat{\mathbf{y}} & \hat{\mathbf{z}} \\ \cos\phi \sin\theta & \sin\phi \sin\theta\ & \cos\theta \\ \cos\phi \cos\theta & \sin\phi \cos\theta & -\sin\theta \end{vmatrix} \\ &= (-\sin\phi \sin^2\theta-\sin\phi \cos^2\theta)\hat{\mathbf{x}}+ (\cos\phi \cos^2\theta + \cos\phi \sin^2\theta)\hat{\mathbf{y}} \\ &\quad +(\cos\phi \sin\theta \sin\phi \cos\theta -\cos\phi \sin\theta \sin\phi \cos\theta)\hat{\mathbf{z}} \\ &= -\sin\phi (\sin^2\theta + \cos^2\theta) \hat{\mathbf{x}} + \cos\phi (\cos^2 \theta + \sin^2\theta) \hat{\mathbf{y}} \\ &= -\sin\phi \hat{\mathbf{x}} + \cos\phi \hat{\mathbf{y}} \end{align*}$$

また、このように考えることもできる。$\hat{\boldsymbol{\phi}}$の方向を決める際に、$\theta$は影響を与えない。$\theta$の値に関わらず、唯一$r$と$\phi$の値に基づいて方向が決定される。また、$\hat{\boldsymbol{\phi}}$の方向は、$\hat{\mathbf{r}}$方向から$\phi$が$\dfrac{\pi}{2}$増加したものである。したがって、$\hat{\mathbf{r}}$から$\theta$項が消え、$\phi$の代わりに$\phi + \dfrac{\pi}{2}$を代入した形になる。

$$\begin{align*} \hat{\boldsymbol{\phi}} &= \cos{(\phi+\dfrac{\pi}{2} )}\hat{\mathbf{x}} + \sin{(\phi + \dfrac{\pi}{2})}\hat{\mathbf{y}} \\ &= -\sin \phi \hat{\mathbf{x}}+ \cos \phi \hat{\mathbf{y}} \end{align*}$$

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