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ガンマ分布 📂確率分布論

ガンマ分布

定義 1

pdf1 pdf2 pdf4

k,θ>0k, \theta > 0に対して、以下の確率密度関数を持つ連続確率分布Γ(k,θ)\Gamma ( k , \theta )ガンマ分布gamma distributionと呼ぶ。 f(x)=1Γ(k)θkxk1ex/θ,x>0 f(x) = {{ 1 } \over { \Gamma ( k ) \theta^{k} }} x^{k - 1} e^{ - x / \theta} \qquad , x > 0


  • Γ\Gammaガンマ関数を示す。
  • ガンマ分布の確率密度関数はα,β>0\alpha , \beta > 0に対して、以下のようにも定義される。本質的にはθ=1β\theta = {{ 1 } \over { \beta }}かの違いだけだ。 f(x)=βαΓ(α)xα1eβx,x>0 f(x) = {{ \beta^{\alpha } } \over { \Gamma ( \alpha ) }} x^{\alpha - 1} e^{ - \beta x} \qquad , x > 0

基本性質

モーメント生成関数

  • [1]: m(t)=(1θt)k,t<1θm(t) = \left( 1 - \theta t\right)^{-k} \qquad , t < {{ 1 } \over { \theta }}

平均と分散

  • [2]: XΓ(α,β)X \sim \Gamma ( \alpha , \beta )ならば E(X)=kθVar(X)=kθ2 \begin{align*} E(X) =& k \theta \\ \Var (X) =& k \theta^{2} \end{align*}

十分統計量

  • [3]: ガンマ分布に従うランダムサンプルX:=(X1,,Xn)Γ(k,θ)\mathbf{X} := \left( X_{1} , \cdots , X_{n} \right) \sim \Gamma \left( k, \theta \right)が与えられているとする。

(k,θ)\left( k, \theta \right)に対する十分統計量TTは次の通り。 T=(iXi,iXi) T = \left( \prod_{i} X_{i}, \sum_{i} X_{i} \right)

定理

スケーリング

  • [a]: XΓ(k,θ)X \sim \Gamma ( k , \theta )ならばスカラーc>0c > 0に対してcXΓ(k,cθ)c X \sim \Gamma ( k , c \theta )

ポアソン分布との関係

  • μzk1ezΓ(k)dz=x=0k1μxeμx! \int_{\mu}^{\infty} { { z^{k-1} e^{-z} } \over { \Gamma (k) } } dz = \sum_{x=0}^{k-1} { { {\mu}^{x} e^{-\mu} } \over {x!} }

指数分布との関係

  • [c]: Γ(1,1λ)    exp(λ)\Gamma \left(1, { 1 \over \lambda } \right) \iff \text{exp} (\lambda)

カイ二乗分布との関係

  • [d]: Γ(r2,2)    χ2(r)\Gamma \left( { r \over 2 } , 2 \right) \iff \chi ^2 (r)

ベータ分布導出

  • [e]: 2つの確率変数X1,X2X_{1},X_{2}が独立であり、X1Γ(α1,1)X_{1} \sim \Gamma ( \alpha_{1} , 1)X2Γ(α2,1)X_{2} \sim \Gamma ( \alpha_{2} , 1)とすると X1X1+X2beta(α1,α2) {{ X_{1} } \over { X_{1} + X_{2} }} \sim \text{beta} \left( \alpha_{1} , \alpha_{2} \right)

説明

ガンマ分布は、ガンマ関数にちなんで名付けられた関数であり、その確率密度関数の積分が11になることはオイラー積分に由来する。直感的な意味を持つというよりは、統計学的に有用な特性が多いため人為的に導入された分布である。このような分布をサンプリング分布sampling distributionとも呼ばれるが、ガンマ分布は特有の形状のおかげで様々な分布へと姿を変え、多くの便利な特性を提供してくれる。

ベイズ理論

ベイジアンでは、ポアソン分布の共役事前分布として使用されることもある。

証明

[1]

t<1θ\displaystyle t < {{ 1 } \over { \theta }}の時、y:=x(1θt)θ\displaystyle y := x {{ ( 1 - \theta t ) } \over { \theta }}と置くとdy=(1θt)θdx\displaystyle dy = {{ ( 1 - \theta t ) } \over { \theta }} dxであるから m(t)=0etx1Γ(k)θkxk1ex/θdx=01Γ(k)θkxk1ex(t1/θ)dx=01Γ(k)θkxk1ex(1θt)θdx=01Γ(k)θk(yθ1θt)k1eyθ1θtdy=(11θt)k0θkΓ(k)θkyk1eydy \begin{align*} m(t) =& \int_{0}^{\infty} e^{tx} {{ 1 } \over { \Gamma ( k ) \theta^{k} }} x^{k - 1} e^{ - x / \theta} dx \\ =& \int_{0}^{\infty} {{ 1 } \over { \Gamma ( k ) \theta^{k} }} x^{k - 1} e^{ x (t - 1 / \theta) } dx \\ =& \int_{0}^{\infty} {{ 1 } \over { \Gamma ( k ) \theta^{k} }} x^{k - 1} e^{ - x {{( 1 - \theta t)} \over {\theta}} } dx \\ =& \int_{0}^{\infty} {{ 1 } \over { \Gamma ( k ) \theta^{k} }} \left( {{ y \theta } \over { 1 - \theta t }} \right)^{k - 1} e^{ - y } {{ \theta } \over { 1 - \theta t }}dy \\ =& \left( {{ 1 } \over { 1 - \theta t }} \right)^{k } \int_{0}^{\infty} {{ \theta^{k} } \over { \Gamma ( k ) \theta^{k} }} y^{k-1} e^{ - y } dy \end{align*} オイラー積分により、01Γ(k)yk1eydy=1\displaystyle \int_{0}^{\infty} {{ 1 } \over { \Gamma ( k ) }} y^{k-1} e^{ - y } dy = 1である。 m(t)=(1θt)k,t<1θ m(t) = \left( 1 - \theta t\right)^{-k} \qquad , t < {{ 1 } \over { \theta }}

[2]

直接演繹する。

[3]

直接演繹する。

[a]

XΓ(k,θ)X \sim \Gamma ( k , \theta )c>0c >0に対してY=cXY = c Xとすると mX(t)=0etx1Γ(k)θkxk1ex/θdx=0etxckΓ(k)(cθ)kxk1ecx/cθdx=0etccx1Γ(k)(cθ)k(cx)k1ecx/cθcdx=0etcy1Γ(k)(cθ)kyk1ey/cθdy \begin{align*} m_{X}(t) =& \int_{0}^{\infty} e^{tx} {{ 1 } \over { \Gamma ( k ) \theta^{k} }} x^{k - 1} e^{ - x / \theta} dx \\ =& \int_{0}^{\infty} e^{tx} {{ c^{k} } \over { \Gamma ( k ) (c\theta)^{k} }} x^{k - 1} e^{ - cx / c\theta} dx \\ =& \int_{0}^{\infty} e^{{{ t } \over { c }} cx} {{ 1 } \over { \Gamma ( k ) (c\theta)^{k} }} (cx)^{k - 1} e^{ - cx / c\theta} c dx \\ =& \int_{0}^{\infty} e^{{{ t } \over { c }} y} {{ 1 } \over { \Gamma ( k ) (c\theta)^{k} }} y^{k - 1} e^{ - y / c\theta} dy \end{align*} [1]モーメント生成関数により mY(t)=E(etY)=E(etcX)=0etccy1Γ(k)(cθ)kyk1ey/cθdy=0etz1Γ(k)(cθ)kzk1ez/cθdz=(1cθ)k \begin{align*} m_{Y}(t) =& E \left( e^{tY} \right) \\ =& E \left( e^{tcX} \right) \\ =& \int_{0}^{\infty} e^{{{ tc } \over { c }} y} {{ 1 } \over { \Gamma ( k ) (c\theta)^{k} }} y^{k - 1} e^{ - y / c\theta} dy \\ =& \int_{0}^{\infty} e^{tz} {{ 1 } \over { \Gamma ( k ) (c\theta)^{k} }} z^{k - 1} e^{ - z / c\theta} dz \\ =& (1 - c \theta)^{-k} \end{align*} それ故にYΓ(k,cθ)Y \sim \Gamma ( k , c \theta)である。

b

数学的帰納法で示す。

[c]

モーメント生成関数で示す。

[d]

モーメント生成関数で示す。

コード

こちらは、ガンマ分布の確率密度関数をGIFアニメで表示するJuliaのコードです。

@time using LaTeXStrings
@time using Distributions
@time using Plots

cd(@__DIR__)

x = 0:0.1:20
Θ = collect(0.1:0.1:10.0); append!(Θ, reverse(Θ))

animation = @animate for θ ∈ Θ
    plot(x, pdf.(Gamma(1, θ), x),
     color = :black,
     label = "r = 1, θ = $(rpad(θ, 4, '0'))", size = (400,300))
    xlims!(0,20); ylims!(0,0.5); title!(L"\mathrm{pmf\,of\,} \Gamma (1, \theta)")
end
gif(animation, "pdf1.gif")

animation = @animate for θ ∈ Θ
    plot(x, pdf.(Gamma(2, θ), x),
     color = :black,
     label = "r = 2, θ = $(rpad(θ, 4, '0'))", size = (400,300))
    xlims!(0,20); ylims!(0,0.5); title!(L"\mathrm{pmf\,of\,} \Gamma (2, \theta)")
end
gif(animation, "pdf2.gif")

animation = @animate for θ ∈ Θ
    plot(x, pdf.(Gamma(4, θ), x),
     color = :black,
     label = "r = 4, θ = $(rpad(θ, 4, '0'))", size = (400,300))
    xlims!(0,20); ylims!(0,0.5); title!(L"\mathrm{pmf\,of\,} \Gamma (4, \theta)")
end
gif(animation, "pdf4.gif")

  1. Hogg et al. (2013). Introduction to Mathematical Statistics(7th Edition): p158. ↩︎