📂整数論

算術関数のアーベル群

定理 ¹

$f(1) \ne 0$ でない算術関数の集合 $A = \left\{ f : \mathbb{N} \to \mathbb{C} \mid f(1) \ne 0 \right\}$ と二項演算 $\ast$ について、$(A,*)$ はアーベル群である。

説明

厳密に言うと、全ての算術関数の集合がアーベル群になれるわけではない。代数的構造が群になるための最後の条件である逆元の存在性のためだが、幸いなことに、その条件は難しくなく、$f(1) \ne 0$ で十分である。

証明

モノイド $\left< G, \ast\ \right>$ の元 $a$ と単位元 $e$ に対して、$a \ast\ a’ = a’ \ast\ a = e$ を満たす $a '$ が存在する場合、$\left< G, \ast\ \right>$を 群^groupと定義する。つまり、群は以下の性質を満たす二項演算構造である。

• (i): 演算に対して結合法則が成り立つ。
• (ii): 全ての元に対して単位元が存在する。
• (iii): 全ての元に対して逆元が存在する。

ここに、次の条件を追加的に満たすと アーベル群という。

• (iv): 演算に対して交換法則が成り立つ。

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Part (i), (iv). 結合法則と交換法則

畳み込みの性質

• 結合法則: $\left( f \ast g \right) \ast k = f \ast (g \ast k)$
• 交換法則: $f \ast\ g = g \ast\ f$

全ての算術関数は結合法則と交換法則を満たす。

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Part (0). $\ast$ に対して閉じている

$f,g \in A$ かつ $h = f \ast\ g$ ならば $f(1) \ne 0$ であり、$g(1) \ne 0$ だから $$ h(1) = \left( f \ast g \right)(1) = \sum_{d \mid 1} f(d) g \left( {{ 1 } \over { d }} \right) = f(1)g(1) \ne 0 $$ したがって、$f \ast g = h \in A$ である。

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Part (ii). 単位元

アイデンティティ: 次のように定義された算術関数 $I$ をアイデンティティ関数という。 $$ I(n) := \left[ {{ 1 } \over { n }} \right] $$

$I(1) = 1 \ne 0$ であるから、$I \in A$ は真である。全ての算術関数に対して、アイデンティティ $I$ は次を満たすことで $( A,*)$ の単位元として存在する。 $$ I \ast\ f = f \ast\ I = f $$

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Part (iii). 逆元

畳み込みに対するインバース: 算術関数 $f$ が $f(1) \ne 0$ を満たす場合、そのインバース $f^{-1}$ が一意に存在する。

前提条件である $f(1) \ne 0$ から、インバース $f^{-1}$ が一意に存在する。

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