📂微分方程式

フロベニウス法

説明¹

微分方程式を解く様々な方法がある。その中の一つに、解を次のように冪級数として仮定することがある。

$$ y=\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n} $$

しかし、ある級数は上記の形で表すことができない。例えば、以下のようなもの。

$$ \frac{\cos x}{x^{2}}=\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{2!}+\frac{ x^{2}}{4!}-\cdots $$

$$ \sqrt{x} \sin x = x^{\frac{1}{2}}\left( x - \frac{x^{3}}{3!}+\cdots \right) $$

このような場合には、解を以下の形として仮定する。

$$ \begin{equation} y=\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n+r}=x^{r}\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n} \label{eq1} \end{equation} $$

この場合、$r$は正数、負数、さらには有理数も可能である。また、$a_{0}=0$であれば最初の項が変わって$r$も変わるので、常に$a_{0}\ne 0$と仮定する。級数$\eqref{eq1}$を一般化された冪級数という。解を一般化された冪級数として仮定して微分方程式を解く方法をフロベニウス法という。フロベニウス法を使う例には、ベッセル方程式がある。