📂抽象代数

二重数

定義

$\epsilon^{2} = 0 (\epsilon \neq 0)$を満たす$\epsilon$に対して、次のような形を二重数^{dual numbers}と言う。

$$a + b\epsilon,\qquad a, b \in \mathbb{R}$$

説明

定義を見ればわかるように、$\epsilon$は順序対の第二次元を作る点で複素数の$i$と似た役割をする。当然、その性質は全く異なる。

$$x + yi = (x, y) \\[1em] a + b\epsilon = (a, b)$$

二重数はその自体でも純粋数学的に興味深く重要な意味を持つ一方で、応用数学でも重要なところに活用されるため、非常に面白い対象だと考えられる。

純粋数学的側面

定義の$\epsilon$は$0$ではないが、平方すると$0$になる数なので、零因子^{zero divisor}である。すなわち整数環^{integral domain}ではないところを選ばなければならない。このような$\epsilon$から作られた二重数の集合は環^ringを成すが、二重数$x, y$について$xy = 0$となるためには$x$と$y$のどちらか一方が$0 + 0\epsilon$でなければならない。すなわち二重数の集合は整数環である。言い換えれば、二重数を定義して演算を与えて環を作る過程は、整数環ではない環から整数環を作る方法である。

応用数学的側面

二重数の演算は微分係数の観点から見たときに非常に面白い性質を持っている。第2成分が微分係数となり、加法と乗法について微分係数が保存されるということである。微分可能な関数$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$について適切に定義すれば、関数に代入することと関数の合成でも微分係数がよく保存されることを確認できる。このような特徴のおかげで二重数は非常に純粋数学的な対象であるが、ディープラーニングで人工ニューラルネットワークを最適化する時に使用される逆伝播アルゴリズムで微分係数を計算する方式である自動微分に応用することができる。

双数の概念は、代数とは全く関係がないと思われる確率微分方程式でも現れます。具体的には、ウィーナー過程 ( W_t ) を扱う際に登場する非常に小さい微小区間 ( dt ) と ( dW_t ) の間の演算である伊藤の乗法表がこれに該当します。ここで、( dt > 0 ) は明らかに正ですが、その二乗以降は非常に小さいため無視できると仮定します。このような解析的に厳密でない仮定が抽象代数によって裏付けられるという点が非常に興味深いです。

演算

二重数の集合に下記のような2つの演算を与えると、その集合は環を成す。

加法

二重数$a+b\epsilon$と$c + d\epsilon$の加法は次のように定義される。

$$(a + b\epsilon) + (c + d\epsilon) = (a + c) + (b + d)\epsilon$$

二重数$a + b\epsilon$を順序対$(a, b)$のように表すと、加法は単に成分ごとの和を取ることと同じである。

$$(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) = (a + c) + (b + d)\epsilon$$

加法に対する逆元は常に存在し、$a + b\epsilon$の逆元は次のようである。

$$-(a + b\epsilon) = (-a) + (-b)\epsilon$$

乗法

二重数$a+b\epsilon$と$c + d\epsilon$の乗法は次のように定義される。

$$(a + b\epsilon)(c + d\epsilon) = ac + (bc+ad)\epsilon$$

以下のように分配律を適用するように乗じて整理した結果と同じである。

$$(a + b\epsilon)(c + d\epsilon) = ac + ad\epsilon + dc\epsilon + bd\epsilon^{2} = ac + (bc+ad)\epsilon$$

順序対で表すと次のようである。

$$(a, b)(c, d) = (ac, bc+ad)$$

複素数の乗法と比較すると似た形状だが、$-bd$がない点が異なる。

$$(a+bi)(c+di) = ac - bd + (bc+ad)i$$

$a \ne 0$である$a + b\epsilon$について乗法の逆元が存在し、次のようである。

$$(a + b\epsilon)^{-1} = \dfrac{1}{a} - \dfrac{b}{a^{2}}\epsilon$$

実際に計算してみると、

$$(a + b\epsilon) \left( \dfrac{1}{a} - \dfrac{b}{a^{2}}\epsilon \right) = a\cdot\dfrac{1}{a} + \left(b\cdot\dfrac{1}{a} - a\cdot\dfrac{b}{a^{2}}\right)\epsilon = 1 + \left( \dfrac{b}{a} - \dfrac{b}{a} \right)\epsilon = 1$$

関連項目

• 二重数
  • 二重数環上で定義される微分可能な実関数
• 自動微分
  • 自動微分と二重数
  • ジュリアで二重数による自動微分の前進モード実装