アトラクターのカオス
ビルドアップ
空間$X = \left( \mathbb{R}^{n} , \left\| \cdot \right\| \right)$と関数$f,g : X \to X$に対するベクトル場とマップが次のように表されるとする。 $$ \dot{x} = f(x) \\ x \mapsto g(x) $$
$\phi (t, \cdot)$はベクトル場$\dot{x} = f(x)$のフローであり、$g^{n}$はマップ$g$を$n$回適用したマップを表し、$\Lambda \subset X$が$\phi (t, \cdot)$または$g(\cdot)$の下で不変コンパクト集合であるとする。
$\phi (t,x)$または$g(x)$が$\Lambda$で初期値に敏感sensitive Dependence on Initial Conditionsであることは、全ての$x \in \Lambda$に対して次を満たす$\varepsilon > 0$が存在し、$x$の全ての近傍$U$に対して次を満たす$y \in U$と$t > 0$が存在することを意味する。 $$ \begin{align*} \left\| \phi (t,x) - \phi (t,y) \right\| > \varepsilon \text{ or } \left\| g^{n} (x) - g^{n} (y) \right\| > \varepsilon \end{align*} $$
この数式は初期値が変わることによって、我々が求めるほど短い時間後に求めるほど大きな差が生じることをそのまま記述したものであって、「初期値に敏感である」という表現に不足はない。
これに加えて、以下の2つの概念がさらに必要である。
アトラクターの定義: 閉じた不変集合$A$が全てのオープンセット$V_{1},V_{2} \subset A$に対して次を満たす場合、位相的に推移的topologically transitiveであると言われる。
- (V): $\phi \left( t, V_{1} \right) \cap V_{2} \ne \emptyset$である$t \in \mathbb{R}$が存在する。
- (M): $g^{n} \left( V_{1} \right) \cap V_{2} \ne \emptyset$である$n \in \mathbb{Z}$が存在する。
アトラクティングセットが位相的に推移的であればアトラクターと呼ばれる。
距離空間での密度: 距離空間$\left( X , d \right)$に対して$A \subset X$とする。
- $\overline{A} = X$のとき、$A$は$X$で密であるdenseと言われる。
定義
$\Lambda$が次の二条件を満たせばカオティックchaoticであると言われる:
- (i): $\phi (t,x)$または$g(x)$が$\Lambda$で初期値に敏感である。
- (ii): $\phi (t,x)$または$g(x)$が$\Lambda$で位相的に推移的である。
- (iii): $\phi (t,x)$または$g(x)$の周期オービットは$\Lambda$で密である。
直感的な説明
カオス理論では、カオティックアトラクターはその分野の名前になり得るほど重要かつ興味ある概念である。しかし、数学的・理論的に遠くに行き過ぎたため、直感的に理解するのは難しいかもしれない。次のGIFを見てみよう：
このGIFはローレンツアトラクターの軌跡trajectoryを描いている。最初は左側でだけ徐々に大きくなりながら回転するように見えるが、ある瞬間から何の規則もなく左右を行き来し、同じ場所を二度通らず、しかしどこか遠くへ行ってしまうこともない。これはダイナミクスで関心を持つカオスの代表的な例である。
周期オービットを表していないことは、空間上の点が似たような場所を回っているように見えても、一度いた場所には二度と戻らないことを意味している。「蝶の形をした軌跡」とはまさに奇妙なアトラクターを指す。
数式的な説明
- (0): コンパクトという条件がない場合、以下の条件を満たしつつも未来が明らかな反例が多く生じる。ナイーブな例として、$a>0$に対して$\dot{x} = ax$のようなシステムがあれば、そのソリューションは$\phi (t,x) = e^{at} x$であるため、初期値に敏感ではある。しかし、それが無限に発散していくことをカオスと呼ぶには無理がある。
- (i): ダイナミクス系は決定論的deterministicであるため、初期値に敏感であるということは未来に対する「不確実性」を意味する。非専門家の間では、カオス理論とはしばしば「バタフライ効果」、つまり「蝶の羽ばたきが地球の反対側で嵐になるかもしれない」という幻想を持っているわけで、それを飾り気なく誇張せず数式で書き出したものである。
- (ii): 位相的に推移的であるということは、簡単に言うと$\Lambda$内のどんな点も、システムによって$\Lambda$のどこかから来て、どこかへ行くことができるということだ。この条件がない場合、一貫した流れに従って一点に収束または発散する、整然としたシステムも混乱していると言わなければならないだろう。
- (iii): 著者によっては、この条件を厳密に入れない場合もある。それが奇妙に見えるかもしれないが、それだけカオスそのものが言葉で表現するのが難しいということを考慮しよう。「周期オービット」という言葉自体が、そのオービットがカオスでないように見えるかもしれないが、上の二つの条件を守る限り、必ずしもそうではない。このオービットが$\Lambda$で密であるということは、少なくとも$\Lambda$内では、「隙間」と言えるような部分がなく、$\Lambda$の隅々を探って回らなければならないという意味になる。逆に言えば、この条件を満たすために$\Lambda$内で固定点を除外するような反例を排除することもできる。
奇妙なアトラクター？
アトラクター$\mathcal{A} \subset X$がカオティックであれば奇妙なアトラクターstrange Attractorと定義される。広く受け入れられている韓国語の婉曲表現には「奇妙な引き寄せ」があり、残念ながら元の意味を全く生かしていない。