logo

ディリクレ積の逆수 📂整数論

ディリクレ積の逆수

定義 1

算術関数 ff に対して、以下を満たす算術関数 f−1f^{-1} が一意に存在する場合、f−1f^{-1} を ff の**(ディリクレ)逆**という。 f∗ f−1=f−1∗ f=I f \ast\ f^{-1} = f^{-1} \ast\ f = I

定理

  • [1]: 算術関数 ff が f(1)≠0f(1) \ne 0 の場合、その逆 f−1f^{-1} が一意に存在し、以下のような再帰関数で表される。 f−1(n)={1f(1),n=1−1f(1)∑d∣n,d<nf(nd)f−1(d),n>1 f^{-1}(n) = \begin{cases} \displaystyle {{1} \over {f(1)}} &,n=1 \\ \displaystyle {{-1} \over {f(1)}} \sum_{d \mid n , d < n } f \left( {{ n } \over { d }} \right) f^{-1}(d) &, n > 1\end{cases}
  • [2]: 二つの算術関数 ff、gg に対して f(1)≠0f(1) \ne 0、g(1)≠0g(1) \ne 0 が満たされる場合、 (f∗ g)−1=g−1∗ f−1=f−1∗ g−1 (f \ast\ g)^{-1} = g^{-1} \ast\ f^{-1} = f^{-1} \ast\ g^{-1}

説明

ほとんどの数学で扱われる逆関数と違い、ディリクレ逆は写像の逆ではなく、代数的なセンスでの逆を指す。自然に代数的構造が思い浮かび、その存在性と一意性も気になるだろう。幸いなことに、逆の存在性は非常に単純な条件を満たすことで充分である。

特に乗法的算術関数の場合、以下の理由から逆の存在性が確実に保証される。 f(1)=f(1⋅1)=f(1)f(1)=1≠0 f(1) = f(1 \cdot 1 ) = f(1) f(1) = 1 \ne 0 これらの事実から、算術関数の集合がアーベル群となる条件は f(1)≠0f(1) \ne 0 になる。

証明

[1]

I(n)=[1n]\displaystyle I(n) = \left[ {{ 1 } \over { n }} \right] なので、n=1n=1 の時 (f∗ f−1)(1)=I(1)=1\left( f \ast\ f^{-1} \right)(1) = I(1) = 1 であり、したがって f−1(1)=1f(1)\displaystyle f^{-1}(1) = {{ 1 } \over { f(1) }} である。f(1)≠0f(1) \ne 0 なので、f−1(1)f^{-1}(1) も一意である。n>1n >1 ならば (f∗ f−1)(n)=I(n)=0\left( f \ast\ f^{-1} \right)(n) = I(n) = 0 なので、 ∑d∣nf(nd)f−1(d)=0 \sum_{d \mid n} f \left( {{ n } \over { d }} \right) f^{-1} (d) = 0 n=dn=d である項を除けば、 f(1)f−1(n)+∑d∣nd<nf(nd)f−1(d)=0 f(1) f^{-1}(n) + \sum_{d \mid n \\ d < n} f \left( {{ n } \over { d }} \right) f^{-1} (d) = 0 整理すると、 f−1(n)=−1f(1)∑d∣nd<nf(nd)f−1(d) f^{-1}(n) = {{-1} \over {f(1)}} \sum_{d \mid n \\ d < n } f \left( {{ n } \over { d }} \right) f^{-1}(d) 先に n=1n=1 の場合に f−1(1)≠0f^{-1}(1) \ne 0 が一意に存在することを示したので、数学的帰納法により、f−1(n)f^{-1}(n) も一意に存在する。

■

[2]

戦略: 存在性を証明すれば、畳み込みの性質により直接計算できる。

畳み込みの性質:

  • (1) 結合法則: (f∗g)∗k=f∗(g∗k) \left( f \ast g \right) \ast k = f \ast (g \ast k)
  • (2) 交換法則: f∗ g=g∗ f f \ast\ g = g \ast\ f

上記の[1]により、f(1)≠0f(1) \ne 0 かつ g(1)≠0g(1) \ne 0 であるため、f−1f^{-1} と g−1g^{-1} は一意に存在する。同様に、 (f∗ g)(1)=∑d∣1f(d)g(1/d)=f(1)g(1)≠0 (f \ast\ g) (1) = \sum_{ d \mid 1} f(d)g(1/d) = f(1) g(1) \ne 0 したがって、(f∗g)−1\left( f \ast g \right)^{-1} も一意に存在する。そうすると、畳み込みの結合法則により、 (f∗ g)∗(g−1∗ f−1)=f∗(g∗g−1)∗ f−1=f∗ I∗ f−1=f∗f−1=I \begin{align*} (f \ast\ g) \ast ( g^{-1} \ast\ f^{-1} ) =& f \ast (g * g^{-1} ) \ast\ f^{-1} \\ =& f \ast\ I \ast\ f^{-1} \\ =& f * f^{-1} \\ =& I \end{align*} (f∗g)−1\left( f \ast g \right)^{-1} は一意であるため、(f∗g)−1=g−1∗ f−1\left( f \ast g \right)^{-1} = g^{-1} \ast\ f^{-1} でなければならない。また、畳み込みの交換法則により、 (f∗ g)−1=g−1∗ f−1=f−1∗ g−1 (f \ast\ g)^{-1} = g^{-1} \ast\ f^{-1} = f^{-1} \ast\ g^{-1}

■

  1. Apostol. (1976). Introduction to Analytic Number Theory: p30. ↩︎