📂整数論

算術関数のディリクレ積

定義 ¹

二つの算術関数$f$、$g$に対し、以下を満たす算術関数$h$を$f$と$g$のディリクレ積と呼ぶ。 $$ h(n) = \sum_{d \mid n} f(d) g \left( {{ n } \over { d }} \right) $$ ディリクレ積は$h (n) = \left( f \ast g \right) (n) $や$h = f \ast g$として表現される。

説明

ディリクレ積は、その形から推測できるように、畳み込みとも呼ばれる。この定義で算術関数を単に$a_{d}$、$b_{n/d}$と記述することは非常に不便であると想像できる。

畳み込み$\ast$について、算術関数の集合は、次のような基本的な代数的性質を持つ。解析的整数論に興味があるならば、２項演算$\ast$を算術関数の集合$A$に適用して得られるアーベル群$(A,*)$を思い浮かべることが自然であろう。残念ながら、正確な答えは「いいえ」だが、もっと適切な条件を提供することで、アーベル群を形成することができる。

一方で畳み込みは、掛け合わされる二つの関数のうち一方が算術関数でなくてもよいように一般化される。

基本性質

• [1] 結合法則: $$ \left( f \ast g \right) \ast k = f \ast (g \ast k) $$
• [2] 交換法則: $$ f \ast g = g \ast f $$

証明

[1]

$A = f \ast g$、$B := (g \ast k)$とすると $$ \begin{align*} \left( f \ast g \right) \ast k =& A \ast k \\ =& \sum_{cm = n} A(m) k(c) \\ =& \sum_{cm=n} \left[ \sum_{ab=m} f(a) g(b) \right] k(c) \\ =& \sum_{abc=n} f(a) g(b) k(c) \\ =& \sum_{am=n} f(a) \left[ \sum_{bc=m} g(b) k(c) \right] \\ =& \sum_{am=n} f(a) B(m) \\ =& f \ast B \\ =& f \ast (g \ast k) \end{align*} $$

■

[2]

$$ \begin{align*} \left( f \ast g \right)(n) =& \sum_{d \mid n} f(d) g \left( {{ n } \over { d }} \right) \\ =& \sum_{ab=n} f(a) g(b) \\ =& \sum_{ab=n} g(b) f(a) \\ =& \sum_{d \mid n} g(d) f\left( {{ n } \over { d }} \right) \\ =& (g \ast f)(n) \end{align*} $$

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一般化

• 一般化されたディリクレ積