📂動力学

多次元マップのカオス

定義¹

マップの軌道$f : \mathbb{R}^{m} \to \mathbb{R}^{m}$が、次を満たす場合、その軌道$\left\{ \mathbf{v}_{0}, \mathbf{v}_{1}, \cdots \right\}$をカオティック^chaoticと言う。

• (i): 漸近周期的ではない。
• (ii): すべての$i = 1,\cdots , m$に対して、$h_{i} ( \mathbf{v}_{0} ) \ne 0$がある。
• (iii): $h_{1} ( \mathbf{v}_{0}) > 0$

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• 軌道が有界とは、すべての$n \in \mathbb{N}_{0}$に対して、$\left\| \mathbf{v}_{n} \right\| < M$を満たす$M \in \mathbb{R}$が存在することを意味する。
• $h_{i}(\mathbf{v}_{0})$はリアプノフ指数を指す。

説明

$1$次元マップのカオスとの違いは、ドメインの次元$m$に応じて、$m$個のリアプノフ指数が計算され、すべてのリアプノフ指数が$0$であってはならず、最大のリアプノフ指数が正でなければならない点である。また、リアプノフ指数が2つ以上正の場合は、ハイパーカオス^{hyper chaos}という言葉が使われる。

関連項目

• 1次元マップのカオス