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オイラー積分：ベータ関数とガンマ関数

定義

オイラー積分^{Euler integral} 以下の二つの積分をオイラー積分と呼ぶ。

• $(a)$ 第1種オイラー積分^{Euler integral of the first kind} : ベータ関数 $$B(p,q)=\int_{0}^1 t^{p-1}(1-t)^{q-1}dt,\quad p>0,\quad q>0$$
• $(b)$ 第2種オイラー積分^{Euler integral of the second kind} : ガンマ関数 $$\Gamma (p) = \int_{0}^\infty t^{p-1}e^{-t}dt,\quad p>0$$

説明

第1種オイラー積分

1-1. ベータ関数: ガンマ関数を階乗の一般化とみなした場合、ベータ関数は二項係数の一般化と見ることができる。 $$\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}=\frac{ 1 }{ (n+1)B(n-k+1,k+1) }$$

1-2. ベータ関数の性質 $$B(p,q)=B(q,p)$$ $$B(p,q)=B(p+1,q)+B(p,q+1)$$ $$B(p+1,q)=\frac{ p }{p+q}B(p,q),\quad B(p,q+1)=\frac{ q }{p+q }B(p,q)$$ $$B(p,p)=\frac{ 1 }{ 2^{2p-1} }B(p,{\textstyle \frac{ 1 }{ 2 }})$$

1-3. ベータ関数の様々な表現

$$B(p,q)=\int_{0}^{a}\left( \frac{ t }{ a }\right)^{p-1} \left( 1-\frac{ t}{a}\right)^{q-1}\frac{ 1 }{a }dt=\frac{ 1 }{ a^{p+q-1} }\int_{0}^{a}t^{p-1}(a-t)^{q-1}dt$$ ベータ関数の定義に$t \rightarrow \dfrac{ t }{ a }$を置換すれば直ちに得られる。 $$B(p,q)=2\int_{0}^{\pi/2}(\sin\theta)^{2p-1} (\cos \theta )^{2q-1}d\theta$$ $$B(p,q)=\int_{0}^{\infty} \frac{ t^{p-1} }{(1+t)^{p+q}}dt$$ $$B(p,q)=\frac{ \Gamma (p) \Gamma (q) }{ \Gamma (p+q) }$$

第2種オイラー積分

2-1. ガンマ関数: ベータ関数を二項係数の一般化とみなした場合、ガンマ関数は階乗の一般化と見ることができる。 $$\Gamma (n)=(n-1)!$$

2-2. ガンマ関数の性質 $$\Gamma (p+1) = p \Gamma (p)$$ $$\Gamma (p) \Gamma (1-p) = \frac{ \pi }{ \sin (\pi p) }$$ また、ガンマ関数を含んだ重要な公式がいくつか存在する。