logo

ベータ関数とガンマ関数の関係 📂関数

ベータ関数とガンマ関数の関係

定理

B(p,q)=Γ(p)Γ(q)Γ(p+q) B(p,q) = {{\Gamma (p) \Gamma (q)} \over {\Gamma (p+q) }}

説明

ベータ関数は B(p,q):=∫01tp−1(1−t)q−1dt\displaystyle B(p,q) := \int_{0}^{1} t^{p-1} (1-t)^{q-1} dt で定義され、ガンマ関数と同様に多くの分野で応用されている重要な関数だ。ガンマ関数は再帰関係を使って簡単に計算できるので、上の関係式を利用してベータ関数も簡単に計算できる。直感的には、二項係数の一般化であり、階乗が現れるので自然にガンマ関数と関係が深い。

証明

Γ(p)=∫0∞up−1e−udu\displaystyle \Gamma (p) = \int_{0}^{\infty} u^{p-1} e^{-u} du かつ Γ(q)=∫0∞vp−1e−vdv\displaystyle \Gamma (q) = \int_{0}^{\infty} v^{p-1} e^{-v} dv の場合、 Γ(p)Γ(q)=∫0∞up−1e−udu∫0∞vp−1e−vdv=∫0∞∫0∞up−1vq−1e−ue−vdudv \begin{align*} \Gamma (p) \Gamma (q) &= \int_{0}^{\infty} u^{p-1} e^{-u} du \int_{0}^{\infty} v^{p-1} e^{-v} dv \\ &= \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} u^{p-1} v^{q-1} e^{-u} e^{-v} du dv \end{align*} u+v=zu + v = z、u=ztu = zt、v=z(1−t)v = z( 1 - t) に置き換えて Γ(p)Γ(q)=∫0∞∫01(zt)p−1(z(1−t))q−1e−u−vzdtdz=∫0∞∫01zp+q−1tp−1(1−t)q−1e−zdtdz=∫0∞zp+q−1e−z∫01tp−1(1−t)q−1dtdz=∫0∞zp+q−1e−zdz∫01tp−1(1−t)q−1dt=Γ(p+q)B(p,q) \begin{align*} \Gamma (p) \Gamma (q) &= \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{1} (zt)^{p-1} (z(1-t))^{q-1} e^{-u-v} z dt dz \\ &= \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{1} z^{p+q-1} t^{p-1} (1-t)^{q-1} e^{-z} dt dz \\ &= \int_{0}^{\infty} z^{p+q-1} e^{-z} \int_{0}^{1} t^{p-1} (1-t)^{q-1} dt dz \\ &= \int_{0}^{\infty} z^{p+q-1} e^{-z} dz \int_{0}^{1} t^{p-1} (1-t)^{q-1} dt \\ &= \Gamma (p + q) B(p, q) \end{align*} まとめると Γ(p)Γ(q)Γ(p+q)=B(p,q) {{\Gamma (p) \Gamma (q)} \over {\Gamma (p+q) }} = B(p,q)

■

系: ベータ関数の対称性

B(p,q)=B(q,p) B(p,q) = B(q,p)

置き換えて証明することも馬鹿げているが、B(p,q)=Γ(p)Γ(q)Γ(p+q)=Γ(q)Γ(p)Γ(q+p)=B(q,p)\displaystyle B(p,q) = {{\Gamma (p) \Gamma (q)} \over {\Gamma (p+q) }} = {{\Gamma (q) \Gamma (p)} \over {\Gamma (q+p) }} = B(q,p) が一行で十分だ。