ガンマ関数と階乗を含むさまざまな重要な公式
📂関数ガンマ関数と階乗を含むさまざまな重要な公式
式
Γ(21)=π(a)
- オイラーの反射公式:
Γ(p)Γ(1−p)=sin(πp)π(b)
Γ(n+21)=2n1⋅3⋅⋅5⋯(2n−1)π=2n(2n−1)!!π=4nn!(2n)!π,n∈N(c)
!!はダブルファクトリアルです。
- 二項係数:
(nk)=k!Γ(n−k+1)Γ(n+1)(d)
- オイラー=マスケローニ定数:
γ=−Γ′(1)(e)
- ベータ関数:
B(p,q)=Γ(p+q)Γ(p)Γ(q)(f)
証明
ガンマ関数:
Γ(p)=⎩⎨⎧∫0∞xp−1e−xdxp1Γ(p+1)p>0p<0
ガンマ関数の再帰公式:
Γ(p+1)=pΓ(p)
(a)
(b)からp=21に代入すると(a)を得るけど、直接導出してみよう。ガンマ関数の定義により、
Γ(21)=∫0∞x1e−xdx
上の式でx=y2に置き換えるとdx=2ydyになるので、
Γ(21)=∫0∞y1e−y22ydy=2∫0∞e−y2dy=∫−∞∞e−y2dy
右辺はガウス積分なので、
Γ(21)=π
■
(b)
簡単じゃない。ワイエルシュトラスの無限積とサイン関数のオイラー表示を使う。
■
(c)
ガンマ関数の再帰関係と(a)によって、
Γ(1+21)Γ(2+21)Γ(3+21)Γ(4+21)⋮Γ(n+21)=21Γ(21)=21π=23Γ(1+21)=2⋅23⋅1π=25Γ(2+21)=2⋅2⋅25⋅3⋅1π=27Γ(3+21)=2⋅2⋅2⋅27⋅5⋅3⋅1π=2n(2n−1)(2n−3)⋯3⋅1π
ここで、
2n(2n−1)(2n−3)⋯3⋅1=2n2n(2n−2)(2n−4)⋯4⋅22n(2n−1)(2n−2)(2n−3)(2n−4)⋯4⋅3⋅2⋅1=2n2nn(n−1)(n−2)⋯2⋅1(2n)!=4n(n)!(2n)!
だから、
Γ(n+21)=2n1⋅3⋅⋅5⋯(2n−1)π=2n(2n−1)!!π=4nn!(2n)!π
■
(d)
(nk)=k!(n−k)!n!=k!Γ(n−k+1)!Γ(n+1)
Γ(n+1)=n!を使って一行で終わる。
■
(e)
ガンマ関数の微分と逆数の積を利用する。
■
(f)
二項係数の一般化として示せる。
■