ガンマ関数と階乗を含むさまざまな重要な公式
式
$$ \Gamma (\frac{1}{2})=\sqrt{\pi} \tag{a} $$
- オイラーの反射公式: $$ \Gamma (p)\Gamma (1-p)=\dfrac{\pi}{\sin(\pi p)} \tag{b} $$
$$ \Gamma (n+\frac{1}{2})=\frac{1\cdot 3\cdot \cdot5 \cdots (2n-1)}{2^{n}}\sqrt{\pi}=\frac{(2n-1)!!}{2^n}\sqrt{\pi}=\frac{(2n)!}{4^{n}n!}\sqrt{\pi},\quad n\in \mathbb{N} \tag{c} $$ $!!$はダブルファクトリアルです。
- 二項係数: $$ \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}=\frac{\Gamma (n+1)}{k! \Gamma (n-k+1)} \tag{d} $$
- オイラー＝マスケローニ定数: $$ \gamma=-\Gamma^{\prime} (1) \tag{e} $$
- ベータ関数:
$$ B(p,q)=\frac{\Gamma (p) \Gamma (q)}{\Gamma (p+q)} \tag{f} $$
証明
ガンマ関数: $$ \Gamma (p)=\begin{cases} \displaystyle \int_{0}^\infty x^{p-1}e^{-x}dx & p>0 \\ \frac{1}{p}\Gamma (p+1)& p<0 \end{cases} $$
ガンマ関数の再帰公式: $$ \Gamma (p+1)=p\Gamma (p) $$
$(a)$
$(b)$から$p=\frac{1}{2}$に代入すると$(a)$を得るけど、直接導出してみよう。ガンマ関数の定義により、
$$ \Gamma ({\textstyle \frac{1}{2}})=\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}e^{-x}dx $$
上の式で$x=y^{2}$に置き換えると$dx=2ydy$になるので、
$$ \Gamma ({\textstyle\frac{1}{2}}) = \int_{0}^{\infty}\frac{1}{y}e^{-y^{2}}2ydy = 2\int_{0}^{\infty}e^{-y^{2}}dy = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-y^{2}}dy $$
右辺はガウス積分なので、
$$ \textstyle \Gamma (\frac{1}{2})=\sqrt{\pi} $$
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$(b)$
簡単じゃない。ワイエルシュトラスの無限積とサイン関数のオイラー表示を使う。
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$(c)$
ガンマ関数の再帰関係と$(a)$によって、
$$ \begin{align*} \textstyle \Gamma (1+\frac{1}{2}) &= \textstyle \frac{1}{2}\Gamma (\frac{1}{2})=\frac{1}{2}\sqrt{\pi} \\[1em] \textstyle \Gamma (2+\frac{1}{2}) &= \textstyle \frac{3}{2}\Gamma (1+\frac{1}{2})=\frac{3\cdot 1}{2\cdot2}\sqrt{\pi} \\[1em] \textstyle \Gamma (3+\frac{1}{2}) &= \textstyle \frac{5}{2}\Gamma (2+\frac{1}{2})=\frac{5\cdot 3\cdot 1}{2\cdot2 \cdot 2}\sqrt{\pi} \\[1em] \textstyle \Gamma (4+\frac{1}{2}) &= \textstyle \frac{7}{2}\Gamma (3+\frac{1}{2})=\frac{7\cdot 5\cdot 3\cdot 1}{2\cdot 2\cdot2 \cdot 2}\sqrt{\pi} \\ \vdots \\ \textstyle \Gamma (n+\frac{1}{2}) &= \textstyle \frac{(2n-1)(2n-3)\cdots 3\cdot 1}{2^n}\sqrt{\pi} \end{align*} $$
ここで、
$$ \begin{align*} \frac{(2n-1)(2n-3)\cdots 3\cdot 1}{2^n} &=\frac{{\color{blue}2n}(2n-1){\color{blue}(2n-2)}(2n-3){\color{blue}(2n-4)}\cdots {\color{blue}4}\cdot 3\cdot {\color{blue}2}\cdot 1}{2^n {\color{blue}2n(2n-2)(2n-4)\cdots 4\cdot 2}} \\ &=\frac{(2n)!}{2^n 2^n n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1} \\ &=\frac{(2n)!}{4^n (n)!} \end{align*} $$
だから、
$$ \Gamma (n+{\textstyle\frac{1}{2}})=\frac{1\cdot 3\cdot \cdot5 \cdots (2n-1)}{2^{n}}\sqrt{\pi}=\frac{(2n-1)!!}{2^n}\sqrt{\pi}=\frac{(2n)!}{4^{n}n!}\sqrt{\pi} $$
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$(d)$
$$ \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \frac{ n! }{ k!(n-k)! }=\frac{ \Gamma (n+1) }{ k! \Gamma (n-k+1)! } $$
$\Gamma (n+1)=n!$を使って一行で終わる。
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$(e)$
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$(f)$
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