📂関数

要因分析、二重要因分析、多因子分析

ファクトリアル

自然数 $n$に対して $n!$を $n$ファクトリアル^{factorial, 階乗}と読み、以下のように定義する。

$$n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots 2\cdot 1 =\prod\limits_{k=1}^n k$$

説明

多くの場所で式をきれいに表現するために使われる。$0$ファクトリアルは $0!:=1$で定義される。ファクトリアルの定義域を一般化してガンマ関数というものを定義することもできる。

ダブルファクトリアル

自然数 $n$に対して $n!!$を $n$ダブルファクトリアル^{double factorial, semi factorial, 重階乗}と読み、以下のように定義する。

$$n!!=n\cdot (n-2)\cdot (n-4) \cdot (n-6) \cdots$$

説明

ファクトリアルが $n$から $1$ずつ引いた値を掛け合わせるのであれば、ダブルファクトリアルは $n$から $2$ずつ引いた値を掛け合わせることである。したがって、$n$が偶数なら $2$で掛け合わせが終わり、奇数なら $1$で掛け合わせが終わる。$n$が偶数の場合、

$$n!!=\prod \limits_{k=1}^{\frac{n}{2}}(2k)=n\cdot(n-2)\cdots 4\cdot 2$$

$n$が奇数の場合、

$$n!!=\prod \limits_{k=1}^{\frac{n+1}{2}}(2k-1)=n\cdot(n-2)\cdots 3\cdot 1$$

例えば $7!!=7\cdot 5\cdot 3\cdot 1=105$で $10!!=10\cdot 8\cdot 6\cdot 4\cdot 2=3840$

$n!!$は $(n!)!$と表記が紛らわしいため、あまり使われない。もちろん、実際に使える場所も多くない。ただし、量子力学などで複雑な式を扱う時に便利のために使われることはある。ファクトリアルと同様に $0!!=1$で定義される。

マルチファクトリアル

自然数 $n>k$に対して $n!^{(k)}=n!_{k}$を以下のように定義し、マルチファクトリアル^{multifactorial, 多重階乗}という。

$$n!^{(k)}=n\cdot(n-k)\cdot (n-2k) \cdot (n-3k)\cdots$$

説明

ガンマ関数がファクトリアルの定義域を拡張したものであれば、マルチファクトリアルはファクトリアルの性質そのものを拡張したものと言える。ダブルファクトリアルもあまり見ることがないため、当然マルチファクトリアルはさらに出会うことが難しい。$n$から感嘆符の数だけ引いた値をマイナスになるまで掛け合わせればよい。例えば、

$$9!!!!=9\cdot 5\cdot 1,\quad 8!!!=8\cdot 5\cdot 2$$

$0<n \le k$の場合は $n!^{(k)}=n$で定義し、$-k < n\le 0$の場合は $n!^{(k)}=1$で定義する。

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