位相空間及び部分空間における内部に関する諸性質
定理
位相空間 $(X,\mathcal{T})$と部分集合 $A,B,A_{\alpha}\subset X\ (\alpha \in \Lambda)$が与えられたとする。そうすると：
- $(a1)$：$A\subset B$ならば$A^{\circ} \subset B^{\circ}$である。
- $(b1)$：$A^{\circ}\cup B^{\circ} \subset (A\cup B)^{\circ}$
- $(c1)$：$A^{\circ} \cap B^{\circ} = (A\cap B)^{\circ}$
- $(d1)$：$(\cap_{\alpha\in\Lambda}A_{\alpha})^{\circ} \subset \cap _{\alpha \in \Lambda} A_{\alpha}^{\circ}$
部分空間の内部
同じ集合でも全体空間の与え方によって、開集合になったりならなかったりする。したがって、その意味を明確にするために、以下の記法が使われる。
位相空間$X$、部分空間$A$、部分集合$B$が$B\subset A\subset X$として与えられたとする。それならば、$\mathrm{int}_{X}(B)$は位相空間$X$での$B$の内部を意味する。$\mathrm{int}_{A}(B)$は部分空間$A$での$B$の内部を意味する。また、以下の二つの性質が成り立つ。
- $(a2)$：$\mathrm{int}_{X}(B) \subset \mathrm{int}_{A}(B)$
- $(b2)$：$\mathrm{int}_{X}(B)=\mathrm{int}_{X}(A) \cap \mathrm{int}_{A}(B)$
- $A^{\circ}$は集合$A$の内部を表す。
証明
$(a1)$
$x \in A^{\circ}$とする。そうすると、内部の定義によって$x \in U \subset A$を満たす開集合が存在する。仮定により$x\in U \subset A \subset B$だから$x\in B^{\circ}$である。
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$(b1)$
$A \subset A\cup B$であり$B\subset A\cup B$だから、$(a)$によって$A^{\circ} \subset (A\cup B)^{\circ}$, $B^{\circ} \subset (A \cup B)^{\circ}$が成り立つ。したがって、$A^{\circ}\cup B^{\circ} \subset (A\cup B)^{\circ}$
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$(c1)$
$(\subset)$
$x\in A^{\circ} \cap B^{\circ}$とする。そうすると、$x \in A^{\circ}$、$x\in B^{\circ}$である。だから、$x\in U \subset A$、$x\in V \subset B$を満たす開集合$U,V$が存在する。開集合の交わりも開集合であり、$x\in (U\cap V) \subset (A\cap B)$だから$x\in (A\cap B)^{\circ}$である。
$(\supset)$
$A\cap B \subset A$、$A \cap B \subset B$だから、$(a)$によって$(A \cap B)^{\circ} \subset A^{\circ} $、$(A \cap B ) ^{\circ} \subset B^{\circ}$である。したがって、$(A\cap B)^{\circ} \subset A^{\circ}\cap B^{\circ}$が成り立つ。
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$(d1)$
$E=\cap_{\alpha\in\Lambda} A_{_\alpha}$とする。すると全ての$\alpha$に対して$E \subset A_{\alpha}$がある。それによって$(a)$で全ての$\alpha$に対して$E^{\circ} \subset A_{\alpha}^{\circ}$である。したがって、$(\cap _{\alpha \in \Lambda }A_{\alpha})^{\circ}=E^{\circ} \subset \cap_{\alpha \in \Lambda}A_{\alpha} ^{\circ}$
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$(a2)$
$x\in \mathrm{int}_{X}(B)$とする。そうすると、内部点の定義により$x \in U \subset B$を満たす$X$での開集合$U$が存在する。すると$U \subset B \subset A$であり、$U=A\cap U$を満たす$X$での開集合$U$が存在するので，部分空間で開集合である同値条件1によって、$U$は部分空間$A$での開集合である。したがって、$x\in U \subset B$を満たす$A$での開集合$U$が存在するので$x \in \mathrm{int}_{A}(B)$
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$(b2)$
$( \subset )$
$B\subset A$だから$(a1)$により$\mathrm{int}_{X}(B) \subset \mathrm{int}_{X}(A)$である。また、$(a2)$により$\mathrm{int}_{X}(B) \subset \mathrm{int}_{A}(B)$だから $$ \mathrm{int}_{X}(B) \subset \mathrm{int}_{X}(A) \cap \mathrm{int}_{A}(B) $$
$( \supset )$
$x \in \mathrm{int}_{X}(A) \cap \mathrm{int}_{A}(B)$とする。そうすると、$x \in U \subset A$、$ x \in V \subset B$を満たす$X$での開集合$U$と$A$での開集合$V$が存在する。$V$が$A$での開集合だから、部分空間で開集合である同値条件2によって、$V=A\cap U^{\prime}$を満たす$X$での開集合$U^{\prime}$が存在する。それで$X$での開集合$U\cap U^{\prime}$に対して、 $$ x\in U\cap U^{\prime} \subset A\cap U^{\prime} =V \subset B $$ だから内部点の定義によって$x\in \mathrm{int}_{X}(B)$
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