📂確率論

タイト確率過程

定義

確率空間 $( \Omega , \mathcal{F} , P)$で確率過程 $\left\{ X_n \right\}_{n \in \mathbb{N}}$が定義されているとしよう。全ての$\varepsilon > 0$に対して、 $$\displaystyle \inf_{n \in \mathbb{N}} P\left( X_{n} \in K \right) > 1 - \varepsilon$$ を満たすコンパクト集合 $K \subset \Omega$が存在する場合、$\left\{ X_{n} \right\}$はタイト^tightだと言う。

説明

数理統計学では、確率における有界の概念に相当する。タイトは分布収束に関連して、以下のようにいくつかの重要な性質を持つ。

基本的な性質

$X$、$\left\{ X_n \right\}_{n \in \mathbb{N}}$がそれぞれ距離空間$(S, d)$で定義された確率要素、確率過程であり、$\mathscr{H}: = C(S, \mathbb{R})$とする。

• [1]: $\left\{ X_{n} \right\}$がタイトならばプリコンパクトである。
• [2]: $\left\{ X_{n} \right\}$がタイトならば全ての$h \in \mathscr{H}$に対して、$h(X_{n}) \overset{D}{\to} h(X)$ならば$X_{n} \overset{D}{\to} X$

$X$、$\left\{ X_n \right\}_{n \in \mathbb{N}}$がそれぞれ$C[0,1]$で定義された確率要素、確率過程であるとしよう。

• [3]: $X$が$S = C[0,1]$の確率要素であるとしよう。$[0,1]$の全ての有限部分集合$A$の点$a$で$X_{n}(a) \overset{W}{\to} X(a)$であり、$\left\{ X_{n} \right\}$がタイトならば$X_{n} \overset{D}{\to} X$
• [4]: $\left\{ X_{n} \right\}$がタイトであることは(i)全ての$\varepsilon > 0$に対して $$\lim_{\delta \to 0} \limsup_{n \to \infty} P \left( \sup_{|s-t| < \delta} \left| X_{n}(s) - X_{n}(t) \right| \ge \varepsilon \right) = 0$$ であり、(ii)$\left\{ X_{n} (0) \right\}$がタイトであることと同値である。

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• $C[0,1]$はドメインが$[0,1]$で、コドメインが$\mathbb{R}$の連続関数の空間である。
• $C(S,\mathbb{R})$は、ドメインが$S$でコドメインが$\mathbb{R}$の連続関数の空間である。

参照

• 数理統計学で定義された確率有界
• タイト確率測度