プリコンパクト確率過程
📂確率論プリコンパクト確率過程
定理
可測空間 (S,S) から (S′,S′) へ行く連続関数たちを集めた関数空間を H:=C(S,S’)と置いて、{h−1(A’):h∈H,A′∈S′} が (S,S) のセパレーティングクラスだとしよう。X は S で定義された確率要素、{Xn}n∈N は S で定義された確率過程だ。
もし
- (i) {Xn} はプリコンパクトだ。
- (ii) すべての h∈H に対して h(Xn)→Dh(X)
ならば、Xn→DX である。
説明
連続写像定理が Xn→DX⟹h(Xn)→Dh(X) であることを示すために P(X∈Ch)=1 という条件を必要としたように、その逆を示すためにはプリコンパクトという条件が必要だ。
証明
仮定 (i) から確率過程 {Xn} がプリコンパクトであることは、すべてのサブシーケンス {Xn′}⊂{Xn} に対して、ある Y∈S に収束するサブシーケンスのサブシーケンス
{Xn′′}⊂{Xn′}⊂{Xn}
が存在するということだ。つまり Xn′′→DY を満たす Y∈S と {Xn′′} が存在し、それからすべての h∈H に対して
h(Xn′′)→Dh(Y)
そして、仮定 (ii) から h(Xn)→Dh(X) だから
h(Xn′′)→Dh(X)
一方で {h−1(A’):h∈H,A′∈S′} はセパレーティングクラスとして置かれたから、すべての A∈S′ と h∈H に対して
⟺⟺⟺⟺h(X)=Dh(Y)P(X∈h−1(A))=P(Y∈h−1(A))P∘X−1=P∘Y−1, on {h−1(A’):h∈H,A′∈S′}P∘X−1=P∘Y−1, on (S,S)X=DY
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