logo

プリコンパクト確率過程 📂確率論

プリコンパクト確率過程

定理

可測空間 (S,S)(S, \mathcal{S}) から (S,S)(S ', \mathcal{S} ') へ行く連続関数たちを集めた関数空間を H:=C(S,S)\mathscr{H}:= C \left( S,S’ \right)と置いて、{h1(A):hH,AS}\left\{ h^{-1}(A’): h \in \mathscr{H} , A ' \in \mathcal{S} ' \right\}(S,S)(S , \mathcal{S})セパレーティングクラスだとしよう。XXSS で定義された確率要素、{Xn}nN\left\{ X_n \right\}_{n \in \mathbb{N}}SS で定義された確率過程だ。

もし

  • (i) {Xn}\left\{ X_{n} \right\}プリコンパクトだ。
  • (ii) すべての hHh \in \mathscr{H} に対して h(Xn)Dh(X)h \left( X_{n} \right) \overset{D}{\to} h(X)

ならば、XnDXX_{n} \overset{D}{\to} X である。

説明

連続写像定理XnDX    h(Xn)Dh(X)X_{n} \overset{D}{\to} X \implies h(X_{n}) \overset{D}{\to} h(X) であることを示すために P(XCh)=1P(X \in C_{h})=1 という条件を必要としたように、その逆を示すためにはプリコンパクトという条件が必要だ。

証明

仮定 (i) から確率過程 {Xn}\left\{ X_{n} \right\}プリコンパクトであることは、すべてのサブシーケンス {Xn}{Xn}\left\{ X_{n '} \right\} \subset \left\{ X_{n} \right\} に対して、ある YSY \in S に収束するサブシーケンスのサブシーケンス {Xn}{Xn}{Xn}\left\{ X_{n ''} \right\} \subset\left\{ X_{n '} \right\} \subset \left\{ X_{n} \right\} が存在するということだ。つまり XnDYX_{n ''} \overset{D}{\to} Y を満たす YSY \in S{Xn}\left\{ X_{n ''} \right\} が存在し、それからすべての hHh \in \mathscr{H} に対して h(Xn)Dh(Y)h \left( X_{n ''} \right) \overset{D}{\to} h \left( Y \right) そして、仮定 (ii) から h(Xn)Dh(X)h \left( X_{n} \right) \overset{D}{\to} h(X) だから h(Xn)Dh(X)h \left( X_{n ''} \right) \overset{D}{\to} h \left( X \right) 一方で {h1(A):hH,AS}\left\{ h^{-1}(A’): h \in \mathscr{H} , A ' \in \mathcal{S} ' \right\} はセパレーティングクラスとして置かれたから、すべての ASA \in \mathcal{S} ' hHh \in \mathscr{H} に対して h(X)=Dh(Y)    P(Xh1(A))=P(Yh1(A))    PX1=PY1, on {h1(A):hH,AS}    PX1=PY1, on (S,S)    X=DY \begin{align*} & h(X) \overset{D}{=} h(Y) \\ \iff & P \left( X \in h^{-1}(A) \right) = P \left( Y \in h^{-1}(A) \right) \\ \iff & P \circ X^{-1} = P \circ Y^{-1} \qquad \text{, on }\left\{ h^{-1}(A’): h \in \mathscr{H} , A ' \in \mathcal{S} ' \right\} \\ \color{red}{\iff}& P \circ X^{-1} = P \circ Y^{-1} \qquad \text{, on } (S,\mathcal{S}) \\ \iff &X \overset{D}{=} Y \end{align*}