📂数理物理学

二つのベクトルの内積とその間の角度の関係

定理

二つのベクトル $\mathbf{a} = (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ と $\mathbf{b} = (b_{1}, b_{2}, b_{3})$ の間の角度を $\theta$ としよう。すると次が成り立つ。

$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta$$

このとき、$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$ は二つのベクトルのドット積（内積）である。

従う定理

ゼロベクトルでない二つのベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ が互いに直交する必要十分条件は次の通りである。

$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$$

証明

下の図を見よう。ベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$、そして $\mathbf{a} - \mathbf{b}$ は三角形を作る。

さて、この三角形にコサイン第二法則を適用すると次が得られる。

$$|\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 - 2 |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta = | \mathbf{a} - \mathbf{b} |^2$$

上の式は内積の性質 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = | \mathbf{a} |^{2}$ により次のようになる。

$$\begin{align*} \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} - 2 |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta &= (\mathbf{a} - \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} - \mathbf{b}) \\ &= \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} - 2 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} \end{align*}$$

共通の項を消去すると次が得られる。

$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta$$

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従う定理の証明

$(\Longrightarrow)$

$\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ が直交するとしよう。すると、

$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \frac{\pi}{2} = 0$$

$(\Longleftarrow)$

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$ としよう。すると、

$$|\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta = 0$$

$\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ はゼロベクトルではないので $|\mathbf{a}| \ne 0$、$|\mathbf{b}| \ne 0$ である。したがって

$$\cos\theta = 0 \implies \theta = \frac{\pi}{2}$$

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