ポーランド空間で定義される確率尺度はタイトである
定理
距離空間 $(S,\rho)$ が ポーランド空間 だとしよう。$S$ で定義された全ての確率測度は タイト である。
解説
ポーランド空間とは、可分 完備 な 距離空間 のことを言う。確率測度のタイトさを論じるのは、この条件下でほとんどの確率がタイトだからである。もちろん、これは逆にポーランド空間ではない場所で定義された確率を研究すべきだという意味でもある。
証明
戦略：タイト確率測度の定義に従えるように、位相数学 のいくつかの定理を取り入れる必要がある。
タイト確率測度の定義によれば、空間 $S$ が 距離空間 $( S , \rho)$ であり、可測空間 $(S,\mathcal{B}(S))$ でもあるとする。
$P$ を $S$ で定義された確率測度 とする。全ての $\varepsilon > 0$ に対して $P(K) > 1 - \varepsilon$ となるような コンパクト集合 が存在するならば、$P$ は タイト と考えられる。
さらに、距離 $\rho$ が与えられた場合、中心が $x_{0}$ で半径が $\varepsilon$ のオープンボールを $B_{\rho} ( x_{0} ; \varepsilon )$、クローズドボールを $B_{\rho} [ x_{0} ; \varepsilon]$ と表す。
$S$ が可分空間であるため、$S$ の稠密な 可算集合 $D:= \left\{ a_{1}, a_{2}, \cdots \right\}$ を選ぶことができる。全ての $\delta > 0$ に対して $\displaystyle \bigcup_{k=1}^{\infty} B_{\rho} \left( a_{k} ; \delta \right) = S$ が成立し、測度の連続性により $\displaystyle P(S) = \lim_{n \to \infty} P \left( \bigcup_{k=1}^{n} B_{\rho} \left( a_{k} ; \delta \right) \right)$ となる。今、$\varepsilon>0$ とすると、全ての $m \in \mathbb{N}$ に対して次を満足する $n_{m}$ が存在する。 $$ P \left( \bigcup_{k=1}^{n_{m}} B_{\rho} \left( a_{k} ; {{ 1 } \over { m }} \right) \right) > P(S) - 2^{-m}\varepsilon $$ 次のように $K \subset S$ を定義しよう。 $$ K := \bigcap_{m=1}^{\infty} \bigcup_{k=1}^{n_{m}} B_{\rho} \left[ a_{k} ; {{ 1 } \over { m }} \right] $$ $K$ はクローズドボールの有限和集合に無限 交差 を取って得られた集合なので、$S$ でクローズドセットであり、全ての $\delta$ に対して $m > 1 / \delta$ となるように $m$ を選べば、 $$ K \subset \bigcup_{k=1}^{n_{m}} B_{\rho} \left[ a_{k} ; {{ 1 } \over { m }} \right] \subset \bigcup_{k=1}^{n_{m}} B_{\rho} \left( a_{k} ; \delta \right) $$ つまり、$K$ は 完全有界空間 である。
したがって、閉集合 $K$ はコンパクトであり、確率測度 $P$ の性質によって、 $$ \begin{align*} P(S \setminus K) =& P \left( \bigcup_{m=1}^{\infty} \left( S \setminus \bigcup_{k=1}^{n_{m}} B_{\rho} \left[ a_{k} ; {{ 1 } \over { m }} \right] \right) \right) \\ =& \sum_{m=1}^{\infty} P \left( S \setminus \bigcup_{k=1}^{n_{m}} B_{\rho} \left[ a_{k} ; {{ 1 } \over { m }} \right] \right) \\ =& \sum_{m=1}^{\infty} \left[ P \left( S \right) - P \left( \bigcup_{k=1}^{n_{m}} B_{\rho} \left[ a_{k} ; {{ 1 } \over { m }} \right] \right) \right] \\ <& \sum_{m=1}^{\infty} 2^{-m} \varepsilon \\ =& \varepsilon \end{align*} $$
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