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連続体仮説 📂集合論

連続体仮説

推測

  1. 連続体仮説：ℵ0=∣N∣\aleph_{0} = |\mathbb{N}| に対してℵ0<x<2ℵ0\aleph_{0} < x < 2^{\aleph_{0}} を満たす基数xx は存在しない。
  2. 一般連続体仮説：無限基数a=∣A∣a = |A| に対してa<x<2aa < x < 2^{a} を満たす基数xx は存在しない。

説明

カントールは対角線論法のような方法で、すべての無限が同じではないことを証明した。無限集合が存在しても、その基数は比較可能であり、自然数の集合N\mathbb{N} 、整数の集合Z\mathbb{Z} 、有理数の集合Q\mathbb{Q} は互いに等しいが、実数の集合R\mathbb{R} とは等しくないことも見た。

しかし、私たちが普段考える数の体系、つまりN⊂Z⊂Q⊂R\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} は、西洋人が発見した順序で並べられているだけかもしれない。どの数学の本にもQ\mathbb{Q} の次がR\mathbb{R} だと書かれていない。それが人類にとって大きな意味があるかどうかはさておき、Q\mathbb{Q} より少し大きくR\mathbb{R} より少し小さい何らかの集合が常に存在する。例えば、Q\mathbb{Q} にすべての無理数ではなく超越数だけを加えても、「こんな集合」になる。しかし、「その基数はどうなるのか」がまさに連続体問題だ。

この問題は非常に難しく、ヒルベルトの23の問題に挙げられた。そしてxx が存在しないという仮説が連続体仮説であり、その仮説を自然数の集合だけでなく、一般的な集合に一般化したものが一般連続体仮説だ。

連続体問題は後に「真であっても偽であっても矛盾が起こらない」ということ、つまり「真であっても偽であっても証明することが意味がない」ということを示すことで解決された。もう一度強調すると、ℵ0<x<2ℵ0\aleph_{0} < x < 2^{\aleph_{0}} を満たすxx が存在するかしないかを証明したのではなく、存在してもしなくても大丈夫であることを証明したのだ。