連続体仮説

推測

連続体仮説：$\aleph_{0} = |\mathbb{N}|$ に対して$\aleph_{0} < x < 2^{\aleph_{0}}$ を満たす基数$x$ は存在しない。
一般連続体仮説：無限基数$a = |A|$ に対して$a < x < 2^{a}$ を満たす基数$x$ は存在しない。

説明

カントールは対角線論法のような方法で、すべての無限が同じではないことを証明した。無限集合が存在しても、その基数は比較可能であり、自然数の集合$\mathbb{N}$ 、整数の集合$\mathbb{Z}$ 、有理数の集合$\mathbb{Q}$ は互いに等しいが、実数の集合$\mathbb{R}$ とは等しくないことも見た。

しかし、私たちが普段考える数の体系、つまり$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ は、西洋人が発見した順序で並べられているだけかもしれない。どの数学の本にも$\mathbb{Q}$ の次が$\mathbb{R}$ だと書かれていない。それが人類にとって大きな意味があるかどうかはさておき、$\mathbb{Q}$ より少し大きく$\mathbb{R}$ より少し小さい何らかの集合が常に存在する。例えば、$\mathbb{Q}$ にすべての無理数ではなく超越数だけを加えても、「こんな集合」になる。しかし、「その基数はどうなるのか」がまさに連続体問題だ。

この問題は非常に難しく、ヒルベルトの23の問題に挙げられた。そして$x$ が存在しないという仮説が連続体仮説であり、その仮説を自然数の集合だけでなく、一般的な集合に一般化したものが一般連続体仮説だ。

連続体問題は後に「真であっても偽であっても矛盾が起こらない」ということ、つまり「真であっても偽であっても証明することが意味がない」ということを示すことで解決された。もう一度強調すると、$\aleph_{0} < x < 2^{\aleph_{0}}$ を満たす$x$ が存在するかしないかを証明したのではなく、存在してもしなくても大丈夫であることを証明したのだ。