📂位相幾何学

位相空間における内部に関するいくつかの同値条件

定義 ¹

位相空間 $(X,\mathcal{T})$と部分空間$A$が与えられたとする。$A$に含まれる全ての開集合の和集合を**$A$の内部**^Interiorと言い、$A^{\circ}$または$\mathrm{int}(A)$と表す。 $$ A^{\circ} = \cup \left\{ U \in \mathcal{T} \ :\ U \subset A\right\} $$ さらに、$x \in X$に対して$x \in U \subset A$を満たす開集合$U$が存在する場合、$x$を**$A$の内部点**と言い、$x \in A^{\circ}$と表す。

説明

内部の定義を考えれば、内部点の定義は非常に自然だ。位相の定義により、開集合の和集合は開集合であるため、$A^{\circ }$は$A$に含まれる最大の開集合だ。

例

集合$X=\left\{ a,b,c,d\right\}$に位相 $$ \mathcal{T}=\left\{ \varnothing, \left\{ a \right\}, \left\{a,b\right\}, \left\{c,d\right\}, \left\{ a,c,d\right\}, X \right\} $$ と部分集合$A= \left\{ a,b,c \right\}$が与えられたとする。$a,b,c,d$がそれぞれ$A$の内部点かどうかを見れば、$(1)$ $a\in \left\{a \right\} \subset A$であるため$a\in A^{\circ}$だ。$(2)$ $b \in \left\{ a,b\right\} \subset A$であるため$b \in A^{\circ}$だ。$(3)$ $c \in A$だが$c \in \left\{ c,d\right\} \not \subset A$、$c \in \left\{ a,c,d\right\} \not \subset A$であるため$c$は内部点ではない。$c \notin A^{\circ}$。$(4)$ $d \notin A$であるため内部点ではない。$d \notin A^{\circ}$。$A^{\circ}$を利用して、$A$に含まれる最大の開集合であることからも求めることができる。 $$ A^{\circ}=\left\{ a,b\right\} $$

定理

• • $(a1)$ $A$は開集合である。
  • $(b1)$ $A=A^{\circ }$
  • $(c1)$ $A$の全ての点は$A$の内部点である。つまり、全ての$x \in A$に対して、$x \in U_{x} \subset A$を満たす開集合$U_{x}$が存在する。
• [2]: 位相空間$(X,\mathcal{T} )$の基底$\mathcal{B}$と部分集合$A \subset X$が与えられたとする。以下の二つの条件は同値である。
  • $(a2)$ $x\in A^{\circ}$である。
  • $(b2)$ $x\in B \subset A$を満たす$B \in \mathcal{B}$が存在する。

距離空間については、以下のように表現できる。

• [3]: 距離空間$(X,d)$と部分集合$A \subset X$が与えられたとする。以下の二つの条件は同値である。
  • $(a3)$ $x \in A^{\circ}$である。
  • $(b3)$ $B_{d}(x,r)\subset A$を満たす$r>0$が存在する。

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• $B_{d}(x,r)$は、中心が$x$で半径が$r$の開球を意味する。

証明

1

$(a1) \implies (b1)$

$A^{\circ}$は$A$に含まれる開集合の中で最大の集合であるため、$A$が開集合である場合$A=A^{\circ }$

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$(b1) \implies (c1)$

自明である。

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$(c1) \implies (a1)$

$A=\bigcup \nolimits_{x\in A}U_{x}$であり、開集合の和集合は開集合であるため、$A$は開集合だ。

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[2]

$(a2) \implies (b2)$

内部点の定義により、$x\in U \subset A$を満たす開集合$U\in \mathcal{T}$が存在する。また、基底の定義により、$x \in B \subset U$を満たす$B \in \mathcal{B}$が存在する。したがって、$x\in B \subset A$である。

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$(b2) \implies (a2)$

$\mathcal{B} \in \mathcal{T}$であるため、$B$は$x$を要素とする開集合だ。したがって、$x$は内部点だ。

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[3]

距離空間$(X,d)$の基底と位相は、それぞれ以下のように与えられる。 $$ \mathcal{B}_{d}=\left\{B_{d}(x,r)\ :\ x\in X,\ 0<r \in \mathbb{R} \right\} $$ $$ \mathcal{T}_{d}=\left\{ U\subset X\ :\ \forall x\in U,\ \exists r_{x}>0 \ \text{s.t.}\ x\in B_{d}(x,r_{x})\subset U\right\} $$ したがって、定理2により成立する。

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