分離ベクトルの大きさの勾配
📂数理物理学分離ベクトルの大きさの勾配
数式
分離ベクトル
の大きさのn乗、
nの勾配は以下の通りだ。
∇(
n)=n
n−1
説明
多項関数の微分と同じやり方で計算した後に、単位ベクトル
を付けるだけだ。
分離ベクトルは
=r−r′なので、(x,y,z)と(x′,y′,z′)を変数に持つ。だから、微分するときはこれに注意が必要だ。上付き標数がある座標とない座標に対する勾配を以下のように表す。
∇f∇′f=∂x∂fx^+∂y∂fy^+∂z∂fz^=∂x′∂fx^+∂y′∂fy^+∂z′∂fz^
直交座標系では、分離ベクトルは以下の通りだ。


=(x−x′)x^+(y−y′)y^+(z−z′)z^=(x−x′)2+(y−y′)2+(z−z′)2=(x−x′)2+(y−y′)2+(z−z′)2(x−x′)x^+(y−y′)y^+(z−z′)z^
n=2、n=−1の場合の結果を先に見て、一般的な場合について証明する。式が長すぎる場合は、同じ部分を赤い角括弧[ ]で示して省略した。
証明
∇
2=2
=2

∇(
2)===== ∂x∂[(x−x′)2+(y−y′)2+(z−z′)2]x^+∂y∂[ ]y^+∂z∂[ ]z^ 2(x−x′)x^+2(y−y′)y^+2(z−z′)z^ 2((x−x′)x^+(y−y′)y^+(z−z′)z^) 2
2
■
∇
1=−
21
∇
1=∂x∂[(x−x′)2+(y−y′)2+(z−z′)2]−21x^+∂y∂[ ]−21y^+∂z∂[ ]−21z^=−21[(x−x′)2+(y−y′)2+(z−z′)2]232(x−x′)x^−21[ ]232(y−y′)y^−21[ ]232(z−z′)=−[(x−x′)2+(y−y′)2+(z−z′)2]1[[ ]21(x−x′)x^+[ ]21(y−y′)y^+[ ]21(z−z′)]=−
21[[(x−x′)2+(y−y′)2+(z−z′)2]21(x−x′)x^+[ ]21(y−y′)y^+[ ]21(z−z′)z^]=−
21(x−x′)2+(y−y′)2+(z−z′)2(x−x′)x^+(y−y′)y^+(z−z′)z^=−
21
■
∇(
n)=n
n−1
∇(
n)=∂x∂(
n)x^+∂y∂(
n)y^+∂z∂(
n)z^=∂
∂(
n)∂x∂
x^+∂
∂(
n)∂y∂
y^+∂
∂(
n)∂z∂
z^
2番目の等号は連鎖律によって成り立つ。この時、以下の式が成り立つ。
∂x∂
=∂x∂[(x−x′)2+(y−y′)2+(z−z′)2)]21=21[2(x−x′)][(x−x′)2+(y−y′)2+(z−z′)2]−21=
x−x′
同様に∂y∂
=
y−y′、∂z∂
=
z−z′だ。従って、まとめると以下の通りだ。
∇(
n)=∂
∂(
n)
x−x′x^+∂
∂(
n)
y−y′y^+∂
∂(
n)
z−z′z^=∂
∂(
n)(
x−x′x^+
y−y′y^+
z−z′z^)=n
n−1
■