📂多変数ベクトル解析

ユークリッド空間における二つのベクトルの間の角度

定義¹

$n$次元ベクトル空間の二つのベクトル$\mathbf{v}, \mathbf{u} \in \mathbb{R}^{n}$に対して、二つのベクトル間の角度は次を満たす$\theta$により定義される。

$$\cos \theta = \dfrac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{u}}{\|\mathbf{v}\| \|\mathbf{u}\|} \tag{1}$$

このとき、$\cdot$は内積である。

説明

2次元または3次元の場合、ベクトルを矢印として視覚化することができるため、「二つのベクトル間の角度」という概念を直感的に理解でき、幾何学的に表現することができる。それで、二つのベクトル$\mathbf{v} = (v_{1}, v_{2}, v_{3})$と$\mathbf{u} = (u_{1}, u_{2}, u_{3})$の内積を$\mathbf{v} \cdot \mathbf{u} = v_{1}u_{1} + v_{2}u_{2} + v_{3}u_{3}$と定義したとき、次の数式が成立することを（コサインの第二法則を使って）定理^theoremとして示すことができた。

$$\mathbf{v} \cdot \mathbf{u} = \|\mathbf{v}\| \|\mathbf{u}\| \cos \theta \tag{2}$$

しかし、$4$次元以上のベクトル空間では、ベクトルを我々が理解しやすいように視覚化し幾何学的に表現することが不可能であるため、二つのベクトル間の角度という概念を言うこと自体が難しい。それで、$n(\ge 4)$次元ベクトル空間での二つのベクトル間の角度は、$(2)$を利用して定義される。つまり、$4$次元以上では$(2)$が定理として成立するのではなく、定義そのものである。このように定義すれば、$(2)$が2次元、3次元だけでなく任意の次元に対しても成立するので、自然な一般化と言える。

よく定義されている

$(1)$を再び記すと次の通りである。

$$\theta := \cos^{-1} \left( \dfrac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{u}}{\|\mathbf{v}\| \|\mathbf{u}\|} \right)$$

ところで、コサイン関数の逆関数は定義域に注意する必要がある。$\cos^{-1}$の定義域と値域は次の通りである。

$$\cos^{-1} : [-1, 1] \to [0, \pi]$$

したがって、すべての$\mathbf{v}, \mathbf{u}$に対して$\set{ \mathbf{v} \cdot \mathbf{u} / \|\mathbf{v}\| \|\mathbf{u}\| } \subset [-1, 1]$が成立しなければならず、コーシー-シュワルツの不等式により実際にそうなる。

$$|\mathbf{v} \cdot \mathbf{u}| \le \|\mathbf{v}\| \|\mathbf{u}\| \implies \dfrac{| \mathbf{v} \cdot \mathbf{u} |}{\|\mathbf{v}\| \|\mathbf{u}\|} \le 1 \implies -1 \le \dfrac{ \mathbf{v} \cdot \mathbf{u} }{\|\mathbf{v}\| \|\mathbf{u}\|} \le 1$$

すなわち、$(1)$がよく定義されていることがわかる。

直交性

二つのベクトル間の角度を定義したので、今度は直交性^{orthogonality}について話すことができる。次の式が成立すると、二つの$n$次元ベクトル$\mathbf{v}, \mathbf{u} \in \mathbb{R}^{n}$が直交すると言う。

$$\mathbf{v} \cdot \mathbf{u} = 0$$

これも$3$次元では定理として成立することを示すことができたが、$n(\ge 4)$次元では定義である。

参考として、垂直^{perpendicular}という言葉はより直感的で幾何学的な感じを持ち、主に2次元や3次元で視覚的に直角を成す状況で使用される。一方、直交^orthogonalという言葉はより抽象的な感じを持ち、$n$次元、または無限次元ベクトル空間で主に使用される。